Calcular as integrais abaixo pela regra dos trapézios e, depois, analiticamente. Considere
e 4 casas decimais com arredondamento.
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Passo 1
Vamos resolver o exercício de calcular a integral
usando a regra dos trapézios com
e depois de forma analítica. Para isso, vamos precisar entender como funciona a regra dos trapézios e os conceitos básicos de cálculo integral.
Passo 2
Regra dos Trapézios: É uma técnica de aproximação para calcular integrais definidas. A ideia é dividir a área sob a curva em trapézios em vez de retângulos e somar as áreas desses trapézios. Quanto mais trapézios usarmos (maior o valor de
), mais precisa será a aproximação.
Passo 3
Primeiro, vamos dividir o intervalo de integração
em
partes iguais. O tamanho de cada subintervalo (
) é dado por:
Passo 4
Agora, identificamos os pontos de divisão:
Passo 5
Calculamos os valores da função
em cada ponto:
Passo 6
Aplicamos a fórmula da regra dos trapézios:
Substituindo os valores:
Passo 7
Calculamos a soma interna:
Agora, somamos todos os termos:
Passo 8
Cálculo Analítico: Vamos integrar a função
de forma direta.
A integral de
é
e a integral de
é
. Assim:
Aplicando os limites de integração de 0 a 6:
Calculando numericamente:
Portanto:
Resposta
A integral
aproximada pela regra dos trapézios com
é
e o valor exato calculado analiticamente é
.
Exercícios relacionados
Encontre a solução de uma da função
em cada caso usando a regra trapezoidal, onde:
e
;
Seja
definida no intervalo
.
Em qual dos casos obtemos melhor aproximação no ponto desejado? Justifique suas afirmações.
Em qual dos casos obtemos melhor aproximação no ponto desejado? Justifique suas afirmações.
Considere a função
dada através da seguinte tabela:
|
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
---|---|---|---|---|---|---|---|
|
0.21 | 0.32 | 0.42 | 0.51 | 0.82 | 0.91 | 1.12 |
Usando a Regra dos trapézios generalizada, calcule o valor de
;
Calcular as integrais abaixo pela regra dos trapézios e, depois, analiticamente. Considere
e 4 casas decimais com arredondamento.
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