Calcular as integrais abaixo pela regra dos trapézios e, depois, analiticamente. Considere n=6 e 4 casas decimais com arredondamento.
integral0^6(cos (x)+x) d x;

Passo 1

Vamos resolver o exercício de calcular a integral integral0^6 (cos(x) + x) , dx usando a regra dos trapézios com n=6 e depois de forma analítica. Para isso, vamos precisar entender como funciona a regra dos trapézios e os conceitos básicos de cálculo integral.

Passo 2

Regra dos Trapézios: É uma técnica de aproximação para calcular integrais definidas. A ideia é dividir a área sob a curva em trapézios em vez de retângulos e somar as áreas desses trapézios. Quanto mais trapézios usarmos (maior o valor de n), mais precisa será a aproximação.

Passo 3

Primeiro, vamos dividir o intervalo de integração [0, 6] em n=6 partes iguais. O tamanho de cada subintervalo ( De) é dado por:
De

Passo 4

Agora, identificamos os pontos de divisão:
x0 = 0, x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3, x4 = 4, x5 = 5, x6 = 6

Passo 5

Calculamos os valores da função f(x) = cos(x) + x em cada ponto:
f(x0) &= cos(0) + 0 = 1 + 0 = 1 f(x1) &= cos(1) + 1 approx 0.5403 + 1 = 1.5403 f(x2) &= cos(2) + 2 approx -0.4161 + 2 = 1.5839 f(x3) &= cos(3) + 3 approx -0.98999 + 3 = 2.0100 f(x4) &= cos(4) + 4 approx -0.6536 + 4 = 3.3464 f(x5) &= cos(5) + 5 approx 0.2837 + 5 = 5.2837 f(x6) &= cos(6) + 6 approx 0.9602 + 6 = 6.9602

Passo 6

Aplicamos a fórmula da regra dos trapézios:
integrala^b f(x) , dx approx De
Substituindo os valores:
integral0^6 (cos(x) + x) , dx approx 12 [ 1 + 2(1.5403 + 1.5839 + 2.0100 + 3.3464 + 5.2837) + 6.9602 ]

Passo 7

Calculamos a soma interna:
2(1.5403 + 1.5839 + 2.0100 + 3.3464 + 5.2837) = 2 times 13.763 = 27.526
Agora, somamos todos os termos:
12 (1 + 27.526 + 6.9602) = 12 times 35.4862 = 17.7431

Passo 8

Cálculo Analítico: Vamos integrar a função f(x) = cos(x) + x de forma direta.
A integral de cos(x) é sin(x) e a integral de x é x^22. Assim:
integral (cos(x) + x) , dx = sin(x) + x^22 + C
Aplicando os limites de integração de 0 a 6:
[ sin(6) + 6^22 ] - [ sin(0) + 0^22 ] = sin(6) + 18 - 0 = sin(6) + 18
Calculando numericamente:
sin(6) approx -0.2794
Portanto:
-0.2794 + 18 = 17.7206

Resposta

A integral integral0^6 (cos(x) + x) , dx aproximada pela regra dos trapézios com n=6 é 17.7431 e o valor exato calculado analiticamente é 17.7206.

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