Considere a função f(x) dada através da seguinte tabela:
x 0 1 2 3 4 5 6
f(x) 0.21 0.32 0.42 0.51 0.82 0.91 1.12
Usando a Regra dos trapézios generalizada, calcule o valor de integral0^6 f(x) d x;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma tabela com valores de para de 0 a 6 e precisa calcular a integral usando a Regra dos Trapézios Generalizada. Para isso, vamos precisar conhecer a Regra dos Trapézios, que é um método numérico para aproximar integrais quando temos pontos de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a Regra dos Trapézios Generalizada. Essa regra aproxima a área sob a curva dividindo o intervalo de integração em vários trapézios e somando as áreas desses trapézios. A fórmula geral para integrala^b f(x) , dx approx h2 [f(x0) + 2f(x1) + 2f(x2) + dots + 2f(xn-1) + f(xn)] subintervalos é:
onde:
  • e são os limites de integração,
  • é o número de subintervalos,
  • é a largura de cada subintervalo,
  • , , e para .

Passo 3

No nosso caso, os limites de integração são de 0 a 6, e temos os valores de para . Isso significa que subintervalos e .
Vamos identificar os valores:

Passo 4

Agora, vamos aplicar a fórmula da Regra dos Trapézios Generalizada:
integral0^6 f(x) , dx approx 12 [f(0) + 2f(1) + 2f(2) + 2f(3) + 2f(4) + 2f(5) + f(6)]
Substituindo os valores:
approx 12 [0.21 + 2(0.32) + 2(0.42) + 2(0.51) + 2(0.82) + 2(0.91) + 1.12]

Passo 5

Vamos calcular os produtos:
= 12 [0.21 + 0.64 + 0.84 + 1.02 + 1.64 + 1.82 + 1.12]
Agora, somando todos os termos dentro dos colchetes:
0.21 + 0.64 = 0.85 0.85 + 0.84 = 1.69 1.69 + 1.02 = 2.71 2.71 + 1.64 = 4.35 4.35 + 1.82 = 6.17 6.17 + 1.12 = 7.29
Então:
= 12 times 7.29 = 3.645

Resposta

O valor aproximado da integral usando a Regra dos Trapézios Generalizada é 3,645.

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