Seja
definida no intervalo
.
Em qual dos casos obtemos melhor aproximação no ponto desejado? Justifique suas afirmações.
Em qual dos casos obtemos melhor aproximação no ponto desejado? Justifique suas afirmações.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função
definida no intervalo
. A pergunta é: em qual dos casos obtemos uma melhor aproximação no ponto desejado? Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de aproximação de funções, como séries de Taylor ou métodos numéricos de aproximação. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa “melhor aproximação”. Basicamente, estamos tentando encontrar uma maneira de estimar o valor de
em algum ponto específico dentro do intervalo
de forma que a estimativa seja o mais próxima possível do valor real.
Passo 3
Uma das formas mais comuns de aproximar funções é usando a Série de Taylor. A Série de Taylor de uma função em torno de um ponto
nos dá uma aproximação polinomial da função perto desse ponto. A fórmula geral da Série de Taylor é:
Isso significa que, dependendo de quantos termos usamos, a aproximação pode ser mais ou menos precisa.
Passo 4
Agora, vamos considerar dois casos para a aproximação:
- Aproximação de primeira ordem (linha reta): Usamos apenas os dois primeiros termos da Série de Taylor (constante e linear).
- Aproximação de segunda ordem (parábola): Usamos os três primeiros termos da Série de Taylor (constante, linear e quadrático).
Vamos ver qual desses casos dá uma melhor aproximação para
no ponto desejado. Suponhamos que queremos aproximar em
.
Passo 5
Vamos calcular a Série de Taylor de
em torno de
:
Primeiro, calculamos as derivadas necessárias:
Agora, avaliamos em
:
Então, a Série de Taylor até a segunda ordem é:
Passo 6
Vamos agora fazer as aproximações nos dois casos:
- Primeira ordem:
Para
:
- Segunda ordem:
Para
:
Passo 7
Agora, vamos comparar com o valor real de
:
Comparando:
- Primeira ordem: 5
- Segunda ordem: 5.5
- Valor real: 5.7183
A aproximação de segunda ordem está mais próxima do valor real do que a de primeira ordem.
Resposta
Aproximações de segunda ordem fornecem uma melhor estimativa para
, pois estão mais próximas do valor real
em comparação com as aproximações de primeira ordem.
Exercícios relacionados
Seja
definida no intervalo
.
Aproxime e
utilizando um polinômio, fórmula de Lagrange de grau 2 , com os pontos com
e
;
Aproxime
Seja
definida no intervalo
.
Aproxime utilizando interpolação linear com
e
;
Aproxime
Encontre a solução de uma da função
em cada caso usando a regra trapezoidal, onde:
e
;
Calcular as integrais abaixo pela regra dos trapézios e, depois, analiticamente. Considere
e 4 casas decimais com arredondamento.
;