Calcular as integrais indefinidas a seguir.
integral x^2 cos (2 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida . Esse exercício está na área de cálculo integral, mais especificamente usando o método de integração por partes. Vamos precisar aplicar esse método mais de uma vez para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a integração por partes. A fórmula é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, escolhemos u = x^2 Rightarrow du = 2x , dx como uma função que simplifica quando derivada e dv = cos(2x) , dx Rightarrow v = sin(2x)2 como o restante que é fácil de integrar.
No nosso caso, deixamos:

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral x^2 cos(2x) , dx = x^2 cdot sin(2x)2 - integral sin(2x)2 cdot 2x , dx
Simplificando:
= x^2 sin(2x)2 - integral x sin(2x) , dx

Passo 4

Agora, precisamos resolver a nova integral u = x Rightarrow du = dx usando integração por partes novamente.
Escolhemos:
dv = sin(2x) , dx Rightarrow v = -cos(2x)2
integral x sin(2x) , dx = -x cos(2x)2 + integral cos(2x)2 , dx
Aplicando a fórmula:
= -x cos(2x)2 + sin(2x)4
Integrando:

Passo 5

Voltando ao Passo 3, substituímos a integral que resolvemos:
integral x^2 cos(2x) , dx = x^2 sin(2x)2 - ( -x cos(2x)2 + sin(2x)4 )
Simplificando:
= x^2 sin(2x)2 + x cos(2x)2 - sin(2x)4

Resposta

A integral x^2 sin(2x)2 + x cos(2x)2 - sin(2x)4 + C é igual a:
onde é a constante de integração.

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