Sabendo que a função f(x) satisfaz a igualdade
integral f(x) d x=x^3-13 sin (3 x)+C
determinar f(pi).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos diz que a integral da função é igual a . Nosso objetivo é descobrir o valor de . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente de derivadas e integrais.

Passo 2

Primeiro, lembre-se que se você tem a integral de uma função f(x) = ddx ( integral f(x) , dx ) , ou seja, , então para encontrar , você precisa derivar a expressão resultante dessa integral. Isso porque a derivada da integral de te dá de volta a função original . Matemáticamente, isso é expresso por:

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso ao nosso caso. A integral dada é:
integral f(x) , dx = x^3 - 13 sin(3x) + C
Vamos derivar essa expressão em relação a f(x) = 3x^2 - cos(3x) para encontrar :
  1. Derivada de é .
  2. Derivada de é .
  3. Derivada da constante é .
Então, temos:

Passo 4

Agora que temos a expressão de f(pi) = 3pi^2 - cos(3pi) , vamos substituir f(pi) = 3pi^2 - (-1) = 3pi^2 + 1 por para encontrar :
Sabemos que (já que o cosseno de ângulos múltiplos de alterna entre e ).
Então:

Resposta

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