Calcular as integrais indefinidas a seguir.
integral x^2 raiz[4]x^3+1 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida integral x^2 raiz[4]x^3+1 , dx. Aqui estamos lidando com cálculo integral, especificamente integrando uma função que envolve uma raiz de índice 4. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de substituição, que facilita integrais mais complicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique a integral. Observando a função dentro da raiz, uma boa opção é definir u = x^3 + 1. Isso porque a derivada de u vai aparecer na integral depois da substituição.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de u em relação a x:
dudx = 3x^2
Isso significa que du = 3x^2 dx. Nosso objetivo é expressar x^2 dx em termos de du.

Passo 4

Rearranjando a equação acima para isolar x^2 dx, temos:
x^2 dx = du3
Substituindo isso na integral original, fica:
integral x^2 raiz[4]x^3+1 , dx = integral raiz[4]u cdot du3

Passo 5

Simplificando a integral, ficamos com:
13 integral u^1/4 , du
Agora, integramos u^1/4 em relação a u:
13 cdot u^5/45/4 + C = 415 u^5/4 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, substituímos u de volta pela expressão original em termos de x:
415 (x^3 + 1)^5/4 + C

Resposta

A integral indefinida é igual a 415 (x^3 + 1)^54 + C.

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