Calcule, mediante o Teorema Fundamental do Cálculo, as integrais definidas a seguir.
integral-1^0 3 x(4-x^2)^3 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo. Esse teorema nos ajuda a calcular integrais definidas encontrando uma antiderivada da função integranda. Para resolver essa integral, vamos precisar usar substituição para simplificar a expressão e facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma substituição que simplifique a integral. Observando o denominador u = 4 - x^2 e o numerador , parece que uma boa escolha é definir:
Isso porque a derivada de em relação a será útil para substituir o no numerador.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de dudx = -2x em relação a dx = du-2x :
Rearranjando para expressar em termos de :

Passo 4

Substituímos integral 3x(4 - x^2)^3 dx = integral 3xu^3 cdot du-2x e = integral 3-2u^3 du = -32 integral u^-3 du na integral original:
Observe que os termos se cancelam:

Passo 5

Agora, vamos integrar integral u^-3 du = u^-2-2 + C = -12u^2 + C em relação a -32 cdot (-12u^2) = 34u^2 + C :
Multiplicando pela constante :

Passo 6

Lembrando que 34u^2 + C = 34(4 - x^2)^2 + C , substituímos de volta:
integral-1^0 3x(4 - x^2)^3 dx = [ 34(4 - x^2)^2 ]-1^0
Essa é a antiderivada da função original. Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular a integral definida de a :

Passo 7

Vamos calcular os valores nos limites de integração:
  1. Para 34(4 - 0^2)^2 = 34 cdot 16 = 364 :
34(4 - (-1)^2)^2 = 34(4 - 1)^2 = 34 cdot 9 = 336 = 112
  1. Para :

Passo 8

Subtraímos o valor em 364 - 112 do valor em 364 = 9192 :
112 = 16192
Para subtrair essas frações, precisamos de um denominador comum. O menor múltiplo comum entre 9192 - 16192 = -7192 e é :
Agora, subtraímos:

Resposta

O valor da integral definida é .

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