Calcule, mediante o Teorema Fundamental do Cálculo, as integrais definidas a seguir.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral definida
usando o Teorema Fundamental do Cálculo. Esse teorema nos ajuda a calcular integrais definidas encontrando uma antiderivada da função integranda. Para resolver essa integral, vamos precisar usar substituição para simplificar a expressão e facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma substituição que simplifique a integral. Observando o denominador
e o numerador
, parece que uma boa escolha é definir:
Isso porque a derivada de
em relação a
será útil para substituir o
no numerador.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Rearranjando para expressar
em termos de
:
Passo 4
Substituímos
e
na integral original:
Observe que os termos
se cancelam:
Passo 5
Agora, vamos integrar
em relação a
:
Multiplicando pela constante
:
Passo 6
Lembrando que
, substituímos de volta:
Essa é a antiderivada da função original. Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular a integral definida de
a
:
Passo 7
Vamos calcular os valores nos limites de integração:
- Para
:
- Para
:
Passo 8
Subtraímos o valor em
do valor em
:
Para subtrair essas frações, precisamos de um denominador comum. O menor múltiplo comum entre
e
é
:
Agora, subtraímos:
Resposta
O valor da integral definida é
.