Calcule, mediante o Teorema Fundamental do Cálculo, as integrais definidas a seguir.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo. Esse teorema nos ajuda a calcular integrais definidas encontrando uma antiderivada da função integranda. Para resolver essa integral, vamos precisar usar substituição para simplificar a expressão e facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma substituição que simplifique a integral. Observando o denominador e o numerador , parece que uma boa escolha é definir:
Isso porque a derivada de em relação a será útil para substituir o no numerador.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de em relação a :
Rearranjando para expressar em termos de :
Passo 4
Substituímos e na integral original:
Observe que os termos se cancelam:
Passo 5
Agora, vamos integrar em relação a :
Multiplicando pela constante :
Passo 6
Lembrando que , substituímos de volta:
Essa é a antiderivada da função original. Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular a integral definida de a :
Passo 7
Vamos calcular os valores nos limites de integração:
Para :
Para :
Passo 8
Subtraímos o valor em do valor em :
Para subtrair essas frações, precisamos de um denominador comum. O menor múltiplo comum entre e é :