Dada a função , com ponto inicial , ponto final , com 5 pontos
Ajuste polinomial, com polinômio de grau 3
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para fazer um ajuste polinomial da função usando um polinômio de grau 3. Vamos trabalhar no intervalo de até e utilizaremos 5 pontos para esse ajuste. Para isso, vamos precisar de conceitos de álgebra linear e ajuste por mínimos quadrados.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar os 5 pontos no intervalo de a . Como queremos pontos igualmente espaçados, a distância entre eles será:
Então, os pontos serão:
Passo 3
Em seguida, calculamos os valores da função para cada um desses pontos:
Passo 4
Agora, queremos encontrar um polinômio de grau 3 que melhor se ajusta a esses pontos. Vamos supor que o polinômio tenha a forma:
Nosso objetivo é determinar os coeficientes e que minimizam o erro entre e para todos os pontos.
Passo 5
Para isso, usamos o método dos mínimos quadrados, que nos leva a resolver um sistema de equações lineares. Montamos a matriz de Vandermonde com os valores de e o vetor dos valores de :
[
]
Resolvendo esse sistema, encontramos os valores dos coeficientes que melhor ajustam o polinômio aos pontos dados.
Passo 6
Após resolver o sistema, os coeficientes encontrados são:
Resposta
O polinômio de grau 3 que ajusta a função no intervalo de a é: