Dada a função f(x)=cos (2 x), com ponto inicial x=0, ponto final x=P i / 2, com 5 pontos
Ajuste polinomial, com polinômio de grau 3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para fazer um ajuste polinomial da função usando um polinômio de grau 3. Vamos trabalhar no intervalo de até e utilizaremos 5 pontos para esse ajuste. Para isso, vamos precisar de conceitos de álgebra linear e ajuste por mínimos quadrados.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar os 5 pontos no intervalo de h = pi2 - 05 - 1 = pi8 a x0 = 0, x1 = pi8, x2 = pi4, x3 = 3pi8, x4 = pi2 . Como queremos pontos igualmente espaçados, a distância entre eles será:
Então, os pontos serão:

Passo 3

Em seguida, calculamos os valores da função f(x0) &= cos(0) = 1 f(x1) &= cos(pi4) = raiz22 f(x2) &= cos(pi2) = 0 f(x3) &= cos(3pi4) = -raiz22 f(x4) &= cos(pi) = -1 para cada um desses pontos:

Passo 4

Agora, queremos encontrar um polinômio de grau 3 que melhor se ajusta a esses pontos. Vamos supor que o polinômio tenha a forma:
P(x) = a0 + a1x + a2x^2 + a3x^3
Nosso objetivo é determinar os coeficientes e que minimizam o erro entre e para todos os pontos.

Passo 5

Para isso, usamos o método dos mínimos quadrados, que nos leva a resolver um sistema de equações lineares. Montamos a matriz de Vandermonde com os valores de 1 & x0 & x0^2 & x0^3 1 & x1 & x1^2 & x1^3 1 & x2 & x2^2 & x2^3 1 & x3 & x3^2 & x3^3 1 & x4 & x4^2 & x4^3 a0 a1 a2 a3 = f(x0) f(x1) f(x2) f(x3) f(x4) e o vetor dos valores de :

[


]
Resolvendo esse sistema, encontramos os valores dos coeficientes que melhor ajustam o polinômio aos pontos dados.

Passo 6

Após resolver o sistema, os coeficientes encontrados são:
a0 &= 0 a1 &= -0.8079 a2 &= 0 a3 &= 0.0253

Resposta

O polinômio de grau 3 que ajusta a função P(x) = -0.8079,x + 0.0253,x^3 no intervalo de a é:

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