Dada a função , com ponto inicial , ponto final , com 5 pontos
Ajuste polinomial, com polinômio de grau 3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para fazer um ajuste polinomial da função usando um polinômio de grau 3. Vamos trabalhar no intervalo de até e utilizaremos 5 pontos para esse ajuste. Para isso, vamos precisar de conceitos de álgebra linear e ajuste por mínimos quadrados.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar os 5 pontos no intervalo de a . Como queremos pontos igualmente espaçados, a distância entre eles será:
Então, os pontos serão:

Passo 3

Em seguida, calculamos os valores da função para cada um desses pontos:

Passo 4

Agora, queremos encontrar um polinômio de grau 3 que melhor se ajusta a esses pontos. Vamos supor que o polinômio tenha a forma:
Nosso objetivo é determinar os coeficientes e que minimizam o erro entre e para todos os pontos.

Passo 5

Para isso, usamos o método dos mínimos quadrados, que nos leva a resolver um sistema de equações lineares. Montamos a matriz de Vandermonde com os valores de e o vetor dos valores de :

[


]
Resolvendo esse sistema, encontramos os valores dos coeficientes que melhor ajustam o polinômio aos pontos dados.

Passo 6

Após resolver o sistema, os coeficientes encontrados são:

Resposta

O polinômio de grau 3 que ajusta a função no intervalo de a é:

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(a) 1,5886 %
(b) 1,6391%
©
(d)
(e) Não sei