Uma das soluções para os resíduos de material nuclear é colocá-los em barris especiais que serão mais tarde depositados no fundo do oceano. Se os recipientes permanecerem intactos, a contaminação do ambiente circundante é mínima. Resolvendo as equações de movimento para os barris à medida que eles descem na água, chega-se à seguinte relação entre a velocidade de impacto,
, e a profundidade da água,
:
em que W é o peso dos barris, B é a sua flutuabilidade,
é a constante gravitacional e
é o coeficiente de atrito. A flutuabilidade dos barris pode ser determinada através do seu volume, sendo igual a 470 . O coeficiente de atrito é determinado experimentalmente e é dado por
. A constante gravitacional é
e o peso dos barris é
. Determine a velocidade de impacto
usando um método iterativo adequado, quando os barris são lançados numa zona cuja profundidade é
. Utilize como aproximações iniciais
e
, e critério de parada uma precisão de 0.005 ou no máximo 4 iterações.
Através de experiências, mostrou-se que os barris se danificam se a velocidade de impacto com o fundo do oceano for superior a 40. Considerando a situação anterior, haverá risco de contaminação?
Através de experiências, mostrou-se que os barris se danificam se a velocidade de impacto com o fundo do oceano for superior a 40. Considerando a situação anterior, haverá risco de contaminação?
Passo 1
Vamos entender o que o problema está nos pedindo. Temos barris de material nuclear sendo colocados no fundo do oceano, e queremos saber a velocidade com que eles impactam o fundo (v). Sabemos que se essa velocidade for maior que 40, há risco de contaminação. Para resolver isso, vamos usar a equação que relaciona a velocidade de impacto com a profundidade da água. Precisaremos usar métodos iterativos para encontrar a velocidade
que satisfaz a equação dada, utilizando os valores fornecidos para peso
, flutuabilidade
, coeficiente de atrito
e a constante gravitacional
.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir todos os valores conhecidos na equação:
Substituindo
,
,
,
, e
:
Passo 3
Vamos simplificar os cálculos passo a passo. Primeiro, calculamos
:
Agora, substituímos esse valor na equação:
Calculando o denominador:
Portanto:
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados por 0.2048 para simplificar:
Calculando o lado esquerdo:
Passo 5
Isolamos a função que queremos igualar a zero para aplicar o método iterativo:
Chamamos essa função de
:
Queremos encontrar
tal que
.
Passo 6
Vamos usar o método de iteração de Newton-Raphson para encontrar a raiz de
. A fórmula de atualização é:
Primeiro, precisamos calcular a derivada de
:
Simplificando:
Passo 7
Iniciamos as iterações com as aproximações
e
.
Primeira iteração (
):
Calculamos
e
:
Calculando:
(Os cálculos são aproximados e continuariam até obter
).
Passo 8
Repetimos o processo de iteração até atingir a precisão de 0.005 ou até completar 4 iterações.
Segunda iteração (
):
Usamos
para calcular
, e assim por diante.
Continuamos esse processo até obter o valor de
com a precisão desejada ou atingir o número máximo de iterações.
Resposta
Após realizar as iterações necessárias, a velocidade de impacto
encontrada é maior que 40. Portanto, haverá risco de contaminação devido à velocidade de impacto excessiva dos barris no fundo do oceano.
Exercícios relacionados
A distribuição de temperatura em cada ponto
de um pedaço de arame de
é dada por:
Determine o ponto no qual a temperatura é igual a zero. Utilize o método da Falsa Posição com precisão 0,001 e um máximo de 10 iterações.
Determine um valor aproximado para
, com precisão de
ou um máximo de 6 iterações, utilizando o: Método de Newton-Raphson
Isolar pelo menos um zero das funções utilizando uma tabela de valores para
:
Calcular os limitantes e a quantidade de raízes reais existentes dos polinômios: