Usando o método do ponto fixo, encontre uma aproximação para a raiz de f(x)=2 x-cos (x) no intervalo [0, pi4] com teste de parada |xn-xn-1|<0.001. (Dica use x0=0.5 ).

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar uma aproximação para a raiz da função usando o método do ponto fixo. Esse método é uma técnica numérica para encontrar soluções de equações . Para isso, precisaremos iterar a função até que a diferença entre duas iterações consecutivas seja menor que . Vamos começar com a estimativa inicial .

Passo 2

Primeiro, precisamos reescrever a equação 2x = cos(x) implies x = cos(x)2 na forma g(x) = cos(x)2 . Dado que , podemos isolar :
Então, nossa função será:

Passo 3

Agora, vamos aplicar o método do ponto fixo usando a fórmula x1 = g(x0) = cos(0.5)2 approx 0.87762 = 0.4388 . Começamos com |x1 - x0| = |0.4388 - 0.5| = 0.0612 >= 0.001 .
Iteração 1:
Verificação do critério de parada:
Como a diferença ainda é maior que 0.001, continuamos.

Passo 4

Iteração 2:
x2 = g(x1) = cos(0.4388)2 approx 0.90652 = 0.4533
Verificação do critério de parada:
|x2 - x1| = |0.4533 - 0.4388| = 0.0145 >= 0.001
Ainda não atendemos o critério, então seguimos.

Passo 5

Iteração 3:
x3 = g(x2) = cos(0.4533)2 approx 0.89952 = 0.4498
Verificação do critério de parada:
|x3 - x2| = |0.4498 - 0.4533| = 0.0035 >= 0.001
Precisamos continuar.

Passo 6

Iteração 4:
x4 = g(x3) = cos(0.4498)2 approx 0.90182 = 0.4509
Verificação do critério de parada:
|x4 - x3| = |0.4509 - 0.4498| = 0.0011 >= 0.001
Estamos quase lá!

Passo 7

Iteração 5:
x5 = g(x4) = cos(0.4509)2 approx 0.90132 = 0.4507
Verificação do critério de parada:
|x5 - x4| = |0.4507 - 0.4509| = 0.0002 < 0.001
Agora, a diferença é menor que 0.001. Podemos parar aqui.

Resposta

A aproximação para a raiz da função no intervalo utilizando o método do ponto fixo é aproximadamente .

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