Calcule uma raiz negativa para a equação
f(x)=x^4-3 x^3-6 x^2-2
pelos métodos: Falsa Posição
utilize uma precisão de 10^-3 ou um máximo de 6 iterações.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação usando o método da Falsa Posição para encontrar uma raiz negativa. A gente vai precisar entender como esse método funciona e trabalhar com aproximações até chegar na precisão de ou até fazer no máximo 6 iterações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o método da Falsa Posição. Esse método é parecido com o método da bissecção, mas em vez de cortar o intervalo exatamente ao meio, ele usa uma linha reta para estimar onde a raiz está. A fórmula para encontrar o próximo ponto é:
xn+1 = xn - f(xn)(xn-1 - xn)f(xn-1) - f(xn)
Vamos precisar de dois pontos iniciais, e , onde e têm sinais opostos, garantindo que haja uma raiz entre eles.

Passo 3

Vamos escolher dois valores negativos para f(-1) = (-1)^4 - 3(-1)^3 - 6(-1)^2 - 2 = 1 + 3 - 6 - 2 = -4 . Vamos tentar f(-2) = (-2)^4 - 3(-2)^3 - 6(-2)^2 - 2 = 16 + 24 - 24 - 2 = 14 e .
Calculando:
Como é negativo e é positivo, sabemos que tem uma raiz entre e .

Passo 4

Agora, vamos aplicar o método da Falsa Posição.
Iteração 1:
x1 = -1 - f(-1)(-2 - (-1))f(-2) - f(-1) = -1 - (-4)(-1)14 - (-4) = -1 - 418 approx -1.222
Calculando f(-1.222) approx (-1.222)^4 - 3(-1.222)^3 - 6(-1.222)^2 - 2 approx 2.22 :
Como é positivo, a raiz está entre e .

Passo 5

Iteração 2:
x2 = -1 - f(-1)(-1.222 - (-1))f(-1.222) - f(-1) = -1 - (-4)(-0.222)2.22 - (-4) approx -1.196
Calculando f(-1.196) approx (-1.196)^4 - 3(-1.196)^3 - 6(-1.196)^2 - 2 approx -0.203 :
Agora, a raiz está entre e .

Passo 6

Iteração 3:
x3 = -1.196 - f(-1.196)(-1.222 - (-1.196))f(-1.222) - f(-1.196) = -1.196 - (-0.203)(-0.026)2.22 - (-0.203) approx -1.197
Calculando f(-1.197) approx (-1.197)^4 - 3(-1.197)^3 - 6(-1.197)^2 - 2 approx -0.001 :
A diferença é menor que , então paramos aqui.

Resposta

A raiz negativa da equação é aproximadamente .

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