Calcular pelo menos uma raiz real da função pelo método de bissecção, método de cordas e método de Newton, com pelo menos três iterações.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar pelo menos uma raiz real da função usando três métodos diferentes: método da bissecção, método das cordas e método de Newton. Vamos precisar entender como cada método funciona e aplicar três iterações em cada um para chegar próximo da raiz.

Passo 2

Método da Bissecção

Passo 2.1: Identificar o intervalo inicial
Primeiro, precisamos encontrar um intervalo onde a função muda de sinal, ou seja, e têm sinais opostos. Isso garante que há pelo menos uma raiz nesse intervalo.
Vamos testar alguns valores:
  • (negativo)
  • (positivo)
Como é negativo e é positivo, sabemos que há uma raiz entre 0.1 e 1.
Passo 2.2: Primeira iteração
Calculamos o ponto médio :
Calculamos :
Como é negativo, a raiz está entre e . Atualizamos o intervalo para .
Passo 2.3: Segunda iteração
Novo ponto médio:
Calculamos :
Agora, é positivo, então a raiz está entre e . Atualizamos o intervalo para .
Passo 2.4: Terceira iteração
Novo ponto médio:
Calculamos :
Como é positivo, a raiz está entre e . Atualizamos o intervalo para .

Passo 3

Método das Cordas

Passo 3.1: Escolher dois pontos iniciais próximos à raiz
Vamos usar e , que já identificamos no método da bissecção.
Passo 3.2: Primeira iteração
A fórmula do método das cordas é:
Aplicando para :
Já calculamos:
Então:
Passo 3.3: Segunda iteração
Usamos e :
Calculamos :
Agora:
Passo 3.4: Terceira iteração
Usamos e :
Calculamos :
Então:

Passo 4

Método de Newton

Passo 4.1: Calcular a derivada da função
A derivada de é:
Passo 4.2: Escolher um ponto inicial próximo à raiz
Vamos usar .
Passo 4.3: Primeira iteração
Calculamos e :
Aplicando a fórmula de Newton:
Passo 4.4: Segunda iteração
Calculamos e :
Aplicando novamente:
Passo 4.5: Terceira iteração
Calculamos e :
Aplicando mais uma vez:

Resposta

Após três iterações, as raízes aproximadas da função são:
  • Método da Bissecção:
  • Método das Cordas:
  • Método de Newton:
Todas as aproximações indicam que a raiz está próxima de .

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v. ) 20 17,5 15,0 11,5 7,5 5,0 1,5
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(TRÊS CASAS DECIMAIS).
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