Calcular pelo menos uma raiz real da função pelo método de bissecção, método de cordas e método de Newton, com pelo menos três iterações. f(x)=x^2+ln (x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar pelo menos uma raiz real da função usando três métodos diferentes: método da bissecção, método das cordas e método de Newton. Vamos precisar entender como cada método funciona e aplicar três iterações em cada um para chegar próximo da raiz.

Passo 2

Método da Bissecção

Passo 2.1: Identificar o intervalo inicial
Primeiro, precisamos encontrar um intervalo c = a + b2 = 0.1 + 12 = 0.55 onde a função muda de sinal, ou seja, f(0.55) = (0.55)^2 + ln(0.55) approx 0.3025 - 0.5978 = -0.2953 e c = 0.55 + 12 = 0.775 têm sinais opostos. Isso garante que há pelo menos uma raiz nesse intervalo.
Vamos testar alguns valores:
  • f(0.775) = (0.775)^2 + ln(0.775) approx 0.6006 - 0.2543 = 0.3463 (negativo)
  • c = 0.55 + 0.7752 = 0.6625 (positivo)
Como f(0.6625) = (0.6625)^2 + ln(0.6625) approx 0.4389 - 0.4115 = 0.0274 é negativo e é positivo, sabemos que há uma raiz entre 0.1 e 1.
Passo 2.2: Primeira iteração
Calculamos o ponto médio :
Calculamos :
Como é negativo, a raiz está entre e . Atualizamos o intervalo para .
Passo 2.3: Segunda iteração
Novo ponto médio:
Calculamos :
Agora, é positivo, então a raiz está entre e . Atualizamos o intervalo para .
Passo 2.4: Terceira iteração
Novo ponto médio:
Calculamos :
Como é positivo, a raiz está entre e . Atualizamos o intervalo para .

Passo 3

Método das Cordas

Passo 3.1: Escolher dois pontos iniciais próximos à raiz
Vamos usar xn+1 = xn - f(xn)(xn - xn-1)f(xn) - f(xn-1) e x2 = 0.775 - f(0.775)(0.775 - 0.55)f(0.775) - f(0.55) , que já identificamos no método da bissecção.
Passo 3.2: Primeira iteração
A fórmula do método das cordas é:
f(0.775) approx 0.3463
Aplicando para f(0.55) approx -0.2953 :
x2 = 0.775 - 0.3463 times 0.2250.3463 - (-0.2953)
Já calculamos:
x2 = 0.775 - 0.0779180.6416 approx 0.775 - 0.1212 = 0.6538
f(0.6538) = (0.6538)^2 + ln(0.6538) approx 0.4275 - 0.4256 = 0.0019
Então:
x3 = 0.6538 - 0.0019 times (0.6538 - 0.775)0.0019 - 0.3463
x3 = 0.6538 - 0.0019 times (-0.1212)-0.3444
Passo 3.3: Segunda iteração
Usamos x3 = 0.6538 - -0.00023-0.3444 approx 0.6538 - 0.00067 = 0.6531 e f(0.6531) = (0.6531)^2 + ln(0.6531) approx 0.4261 - 0.4250 = 0.0011 :
Calculamos x4 = 0.6531 - 0.0011 times (0.6531 - 0.6538)0.0011 - 0.0019 :
x4 = 0.6531 - 0.0011 times (-0.0007)-0.0008 approx 0.6531 - -0.00000077-0.0008 approx 0.6531
Agora:
Passo 3.4: Terceira iteração
Usamos e :
Calculamos :
Então:

Passo 4

Método de Newton

Passo 4.1: Calcular a derivada da função
A derivada de f'(x) = 2x + 1x é:
f(0.6) = (0.6)^2 + ln(0.6) = 0.36 - 0.5108 = -0.1508
Passo 4.2: Escolher um ponto inicial próximo à raiz
Vamos usar f'(0.6) = 2(0.6) + 10.6 = 1.2 + 1.6667 = 2.8667 .
Passo 4.3: Primeira iteração
Calculamos x1 = x0 - f(x0)f'(x0) = 0.6 - -0.15082.8667 approx 0.6 + 0.0526 = 0.6526 e f(0.6526) = (0.6526)^2 + ln(0.6526) approx 0.4255 - 0.4274 = -0.0019 :
f'(0.6526) = 2(0.6526) + 10.6526 approx 1.3052 + 1.5334 = 2.8386
x2 = 0.6526 - -0.00192.8386 approx 0.6526 + 0.00067 = 0.6533
Aplicando a fórmula de Newton:
f(0.6533) = (0.6533)^2 + ln(0.6533) approx 0.4263 - 0.4252 = 0.0011
Passo 4.4: Segunda iteração
Calculamos f'(0.6533) = 2(0.6533) + 10.6533 approx 1.3066 + 1.5317 = 2.8383 e x3 = 0.6533 - 0.00112.8383 approx 0.6533 - 0.00039 = 0.6529 :
Aplicando novamente:
Passo 4.5: Terceira iteração
Calculamos e :
Aplicando mais uma vez:

Resposta

Após três iterações, as raízes aproximadas da função são:
  • Método da Bissecção:
  • Método das Cordas:
  • Método de Newton:
Todas as aproximações indicam que a raiz está próxima de .

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