Calcular pelo menos uma raiz real da função pelo método de bissecção, método de cordas e método de Newton, com pelo menos três iterações.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar pelo menos uma raiz real da função
usando três métodos diferentes: método da bissecção, método das cordas e método de Newton. Vamos precisar entender como cada método funciona e aplicar três iterações em cada um para chegar próximo da raiz.
Passo 2
Método da Bissecção
Passo 2.1: Identificar o intervalo inicial
Primeiro, precisamos encontrar um intervalo
onde a função muda de sinal, ou seja,
e
têm sinais opostos. Isso garante que há pelo menos uma raiz nesse intervalo.
Vamos testar alguns valores:
-
(negativo) -
(positivo)
Como
é negativo e
é positivo, sabemos que há uma raiz entre 0.1 e 1.
Passo 2.2: Primeira iteração
Calculamos o ponto médio
:
Calculamos
:
Como
é negativo, a raiz está entre
e
. Atualizamos o intervalo para
.
Passo 2.3: Segunda iteração
Novo ponto médio:
Calculamos
:
Agora,
é positivo, então a raiz está entre
e
. Atualizamos o intervalo para
.
Passo 2.4: Terceira iteração
Novo ponto médio:
Calculamos
:
Como
é positivo, a raiz está entre
e
. Atualizamos o intervalo para
.
Passo 3
Método das Cordas
Passo 3.1: Escolher dois pontos iniciais próximos à raiz
Vamos usar
e
, que já identificamos no método da bissecção.
Passo 3.2: Primeira iteração
A fórmula do método das cordas é:
Aplicando para
:
Já calculamos:
Então:
Passo 3.3: Segunda iteração
Usamos
e
:
Calculamos
:
Agora:
Passo 3.4: Terceira iteração
Usamos
e
:
Calculamos
:
Então:
Passo 4
Método de Newton
Passo 4.1: Calcular a derivada da função
A derivada de
é:
Passo 4.2: Escolher um ponto inicial próximo à raiz
Vamos usar
.
Passo 4.3: Primeira iteração
Calculamos
e
:
Aplicando a fórmula de Newton:
Passo 4.4: Segunda iteração
Calculamos
e
:
Aplicando novamente:
Passo 4.5: Terceira iteração
Calculamos
e
:
Aplicando mais uma vez:
Resposta
Após três iterações, as raízes aproximadas da função
são:
- Método da Bissecção:
- Método das Cordas:
- Método de Newton:
Todas as aproximações indicam que a raiz está próxima de
.