Dada a equação f(x)=x^5-2 x^4-7 x^3+9 x^2+8 x-6=0, pede-se:
Utilizando o método da bisseção, calcule a sua menor raiz positiva com precisão 0,040. Raíz = (0.5625) // |b-a|<0.04

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver uma equação do quinto grau usando o método da bisseção. A equação que temos é:
f(x) = x^5 - 2x^4 - 7x^3 + 9x^2 + 8x - 6 = 0
Nosso objetivo aqui é encontrar a menor raiz positiva dessa equação com uma precisão de 0,040 usando o método da bisseção. Para isso, vamos precisar entender como esse método funciona e aplicá-lo passo a passo.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é o método da bisseção. É uma técnica numérica usada para encontrar raízes de funções contínuas. A ideia é escolher um intervalo onde a função muda de sinal, ou seja, . Isso garante que existe pelo menos uma raiz nesse intervalo. Depois, dividimos o intervalo ao meio e verificamos em qual subintervalo ocorre a mudança de sinal. Repetimos esse processo até alcançar a precisão desejada.

Passo 3

Vamos começar identificando um intervalo f(0) = 0^5 - 2 cdot 0^4 - 7 cdot 0^3 + 9 cdot 0^2 + 8 cdot 0 - 6 = -6 onde a função f(1) = 1 - 2 - 7 + 9 + 8 - 6 = 3 muda de sinal. Vamos testar alguns valores positivos de :
  • Para :
  • Para :
Vemos que e . Como é negativo e é positivo, há uma mudança de sinal entre e . Então, nosso intervalo inicial é .

Passo 4

Agora, vamos aplicar o método da bisseção para refinar nosso intervalo c = a + b2 = 0 + 12 = 0,5 e aproximar a raiz com a precisão de 0,040.
  1. Calculamos o ponto médio f(0,5) = (0,5)^5 - 2(0,5)^4 - 7(0,5)^3 + 9(0,5)^2 + 8(0,5) - 6 do intervalo:
    f(0,5) = 0,03125 - 2(0,0625) - 7(0,125) + 9(0,25) + 4 - 6
  2. Avaliamos f(0,5) = 0,03125 - 0,125 - 0,875 + 2,25 + 4 - 6 = -0,71875:
  3. Verificamos o sinal de . Como e , ambos são negativos. Portanto, a raiz está no intervalo . Atualizamos .

Passo 5

Repetimos o processo com o novo intervalo c = 0,5 + 12 = 0,75:
  1. Calculamos o novo ponto médio:
    f(0,75) = (0,75)^5 - 2(0,75)^4 - 7(0,75)^3 + 9(0,75)^2 + 8(0,75) - 6
  2. Avaliamos f(0,75) approx 0,2373 - 2(0,3164) - 7(0,4219) + 9(0,5625) + 6 - 6:
    f(0,75) approx 0,2373 - 0,6328 - 2,9533 + 5,0625 + 6 - 6 = 1,614
  3. Como e , há mudança de sinal entre e . Atualizamos .

Passo 6

Continuamos com o intervalo c = 0,5 + 0,752 = 0,625:
  1. Calculamos o ponto médio:
    f(0,625) = (0,625)^5 - 2(0,625)^4 - 7(0,625)^3 + 9(0,625)^2 + 8(0,625) - 6
  2. Avaliamos f(0,625) approx 0,095 - 2(0,1526) - 7(0,2441) + 9(0,3906) + 5 - 6:
    f(0,625) approx 0,095 - 0,3052 - 1,7087 + 3,5154 + 5 - 6 = 0,596 (aproximadamente)
  3. Como e , a mudança de sinal ocorre entre e . Atualizamos .

Passo 7

Agora, com o intervalo c = 0,5 + 0,6252 = 0,5625:
  1. Calculamos o ponto médio:
    f(0,5625) = (0,5625)^5 - 2(0,5625)^4 - 7(0,5625)^3 + 9(0,5625)^2 + 8(0,5625) - 6
  2. Avaliamos f(0,5625) approx 0,0554 - 2(0,1001) - 7(0,1779) + 9(0,3164) + 4,5 - 6:
    f(0,5625) approx 0,0554 - 0,2002 - 1,2453 + 2,8476 + 4,5 - 6 = 0,0 (aproximadamente)
  3. Como está muito próximo de zero e a largura do intervalo ainda é maior que 0,040, vamos verificar se alcançamos a precisão desejada.

Passo 8

Verificamos a precisão do nosso intervalo atual c = 0,5 + 0,56252 = 0,53125:
  • A largura do intervalo é f(0,53125) = (0,53125)^5 - 2(0,53125)^4 - 7(0,53125)^3 + 9(0,53125)^2 + 8(0,53125) - 6, que ainda é maior que 0,040.
  • Vamos fazer mais uma iteração para reduzir a largura do intervalo.
  1. Calculamos o ponto médio:
    f(0,53125) approx 0,0486 - 2(0,0796) - 7(0,1500) + 9(0,2822) + 4,25 - 6
  2. Avaliamos f(0,53125) approx 0,0486 - 0,1592 - 1,05 + 2,5398 + 4,25 - 6 = -0,371 (aproximadamente):
  3. Como e , a raiz está no intervalo . A largura desse intervalo é , que é menor que 0,040. Então, paramos aqui.

Resposta

A menor raiz positiva da equação Raíz = 0,5625 com |b - a| < 0,040 usando o método da bisseção com precisão de 0,040 é aproximadamente:
í

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