Dada a equação , pede-se:
Utilizando o método da bisseção, calcule a sua menor raiz positiva com precisão 0,040. Raíz = (0.5625) // |b-a|<0.04

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver uma equação do quinto grau usando o método da bisseção. A equação que temos é:

Nosso objetivo aqui é encontrar a menor raiz positiva dessa equação com uma precisão de 0,040 usando o método da bisseção. Para isso, vamos precisar entender como esse método funciona e aplicá-lo passo a passo.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é o método da bisseção. É uma técnica numérica usada para encontrar raízes de funções contínuas. A ideia é escolher um intervalo onde a função muda de sinal, ou seja, . Isso garante que existe pelo menos uma raiz nesse intervalo. Depois, dividimos o intervalo ao meio e verificamos em qual subintervalo ocorre a mudança de sinal. Repetimos esse processo até alcançar a precisão desejada.

Passo 3

Vamos começar identificando um intervalo onde a função muda de sinal. Vamos testar alguns valores positivos de :
  • Para :
  • Para :
Vemos que e . Como é negativo e é positivo, há uma mudança de sinal entre e . Então, nosso intervalo inicial é .

Passo 4

Agora, vamos aplicar o método da bisseção para refinar nosso intervalo e aproximar a raiz com a precisão de 0,040.
  1. Calculamos o ponto médio do intervalo:
  2. Avaliamos :
  3. Verificamos o sinal de . Como e , ambos são negativos. Portanto, a raiz está no intervalo . Atualizamos .

Passo 5

Repetimos o processo com o novo intervalo :
  1. Calculamos o novo ponto médio:
  2. Avaliamos :
  3. Como e , há mudança de sinal entre e . Atualizamos .

Passo 6

Continuamos com o intervalo :
  1. Calculamos o ponto médio:
  2. Avaliamos :
  3. Como e , a mudança de sinal ocorre entre e . Atualizamos .

Passo 7

Agora, com o intervalo :
  1. Calculamos o ponto médio:
  2. Avaliamos :
  3. Como está muito próximo de zero e a largura do intervalo ainda é maior que 0,040, vamos verificar se alcançamos a precisão desejada.

Passo 8

Verificamos a precisão do nosso intervalo atual :
  • A largura do intervalo é , que ainda é maior que 0,040.
  • Vamos fazer mais uma iteração para reduzir a largura do intervalo.
  1. Calculamos o ponto médio:
  2. Avaliamos :
  3. Como e , a raiz está no intervalo . A largura desse intervalo é , que é menor que 0,040. Então, paramos aqui.

Resposta

A menor raiz positiva da equação usando o método da bisseção com precisão de 0,040 é aproximadamente:
í

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