Dada a equação
, pede-se:
Utilizando o método da bisseção, calcule a sua menor raiz positiva com precisão 0,040. Raíz = (0.5625) // |b-a|<0.04
Utilizando o método da bisseção, calcule a sua menor raiz positiva com precisão 0,040. Raíz = (0.5625) // |b-a|<0.04
Passo 1
Beleza, galera! Vamos resolver uma equação do quinto grau usando o método da bisseção. A equação que temos é:
Nosso objetivo aqui é encontrar a menor raiz positiva dessa equação com uma precisão de 0,040 usando o método da bisseção. Para isso, vamos precisar entender como esse método funciona e aplicá-lo passo a passo.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é o método da bisseção. É uma técnica numérica usada para encontrar raízes de funções contínuas. A ideia é escolher um intervalo
onde a função muda de sinal, ou seja,
. Isso garante que existe pelo menos uma raiz nesse intervalo. Depois, dividimos o intervalo ao meio e verificamos em qual subintervalo ocorre a mudança de sinal. Repetimos esse processo até alcançar a precisão desejada.
Passo 3
Vamos começar identificando um intervalo
onde a função
muda de sinal. Vamos testar alguns valores positivos de
:
-
Para
: -
Para
:
Vemos que
e
. Como
é negativo e
é positivo, há uma mudança de sinal entre
e
. Então, nosso intervalo inicial é
.
Passo 4
Agora, vamos aplicar o método da bisseção para refinar nosso intervalo
e aproximar a raiz com a precisão de 0,040.
-
Calculamos o ponto médio
do intervalo: -
Avaliamos
: -
Verificamos o sinal de
. Como e , ambos são negativos. Portanto, a raiz está no intervalo . Atualizamos .
Passo 5
Repetimos o processo com o novo intervalo
:
-
Calculamos o novo ponto médio:
-
Avaliamos
: -
Como
e , há mudança de sinal entre e . Atualizamos .
Passo 6
Continuamos com o intervalo
:
-
Calculamos o ponto médio:
-
Avaliamos
: -
Como
e , a mudança de sinal ocorre entre e . Atualizamos .
Passo 7
Agora, com o intervalo
:
-
Calculamos o ponto médio:
-
Avaliamos
: -
Como
está muito próximo de zero e a largura do intervalo ainda é maior que 0,040, vamos verificar se alcançamos a precisão desejada.
Passo 8
Verificamos a precisão do nosso intervalo atual
:
- A largura do intervalo é
, que ainda é maior que 0,040. - Vamos fazer mais uma iteração para reduzir a largura do intervalo.
-
Calculamos o ponto médio:
-
Avaliamos
: -
Como
e , a raiz está no intervalo . A largura desse intervalo é , que é menor que 0,040. Então, paramos aqui.
Resposta
A menor raiz positiva da equação
usando o método da bisseção com precisão de 0,040 é aproximadamente: