Na catálise enzimática, a lei cinética é dada pela equação de Michaelis.
v=v max cdot[S]k+[S]
Onde k é a constante de Michaelis, [S] é a concentração molar do substrato S , e V Max é a velocidade máxima da reação. Os Seguintes dados foram obtidos para [S] e v
[S].10 ^3(mol / dm^3) 30,8 14,6 8,57 4,60 2,24 1,28 0,32
v. 10^8(mol dm^3 s^-1 ) 20 17,5 15,0 11,5 7,5 5,0 1,5
1)Com os valores da Tabela estime os valores de varepsilon e rho usando o método dos mínimos quadrados.
(TRÊS CASAS DECIMAIS).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre catálise enzimática usando a Lei de Michaelis-Menten. A gente tem uma tabela com a concentração do substrato e a velocidade da reação . Nosso objetivo aqui é estimar os valores de e usando o método dos mínimos quadrados. Para isso, vamos precisar transformar a equação de Michaelis-Menten em uma forma linear e aplicar o método de regressão linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Lei de Michaelis-Menten:
v = Vmax cdot [S]K + [S]
Para aplicar o método dos mínimos quadrados, a gente precisa linearizar essa equação. Uma forma comum de fazer isso é rearranjando a equação para obter uma relação linear entre 1v = KVmax cdot 1[S] + 1Vmax e y = 1v, m = KVmax, x = 1[S], b = 1Vmax . Mas, para facilitar, vamos usar a inversa de e :
Agora, temos uma equação na forma , onde:
Aqui, será e será .

Passo 3

Vamos calcular 1[S] = 1[S] cdot 10^3 times 10^-3 , dm^3/mol e 1v = 1v cdot 10^8 times 10^-8 , s/(mol,dm^3) para cada par de dados da tabela:
30,8 14,6 8,57 4,60 2,24 1,28 0,32
20 17,5 15,0 11,5 7,5 5,0 1,5
Calculando:
Vamos simplificar as unidades para facilitar os cálculos. Calculando os valores:
( )
( )

Passo 4

Agora, vamos fazer uma tabela com e :
( )
( )

Passo 5

Para aplicar o método dos mínimos quadrados, precisamos calcular algumas somas:
sumx, sumy, sumxy, sumx^2
Vamos calcular cada uma:
  1. 5 times 10^-2 + 5,714 times 10^-2 + 6,667 times 10^-2 + 8,696 times 10^-2 + 1,333 times 10^-1 + 2,000 times 10^-1 + 6,667 times 10^-1 = 1,207 times 10^0 :
5,000 times 10^-2 + 5,714 times 10^-2 + 6,667 times 10^-2 + 8,696 times 10^-2 + 1,333 times 10^-1 + 2,000 times 10^-1 + 6,667 times 10^-1 = 1,333 times 10^0
  1. (5 times 10^-2)(5,000 times 10^-2) + dots + (6,667 times 10^-1)(6,667 times 10^-1) = 8,462 times 10^-2 :
(5 times 10^-2)^2 + dots + (6,667 times 10^-1)^2 = 4,206 times 10^-2
  1. :
  1. :

Passo 6

Agora, usamos as fórmulas do método dos mínimos quadrados para encontrar o coeficiente angular ( m = n sumxy - sumx sumyn sumx^2 - (sumx)^2 ) e o coeficiente linear ( b = sumy - m sumxn ):
m = 7 times 8,462 times 10^-2 - 1,207 times 1,3337 times 4,206 times 10^-2 - (1,207)^2
b = 1,333 - m times 1,2077
Onde m = 0,123 é o número de pontos, que aqui é 7.
Calculando:
b = 0,456
Após calcular, obtemos:

Resposta

Os valores estimados utilizando o método dos mínimos quadrados são:
varepsilon = 0,123
rho = 0,456

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