Calcular pelo menos uma raiz real da função pelo método de bissecção, método de cordas e método de Newton, com pelo menos três iterações.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício de encontrar pelo menos uma raiz real da função
usando três métodos diferentes: método da bissecção, método das cordas e método de Newton. Para isso, vamos precisar entender como cada método funciona e aplicá-los com pelo menos três iterações cada um para aproximar a raiz.
Passo 2
Método da Bissecção - Iteração 1
O método da bissecção é usado para encontrar raízes de funções contínuas, dividindo o intervalo ao meio repetidamente. Primeiro, precisamos identificar um intervalo
onde a função muda de sinal, ou seja,
.
Vamos escolher
e
:
Como , sabemos que há uma raiz nesse intervalo.
Como
Calculamos o ponto médio:
Como
é negativo, a raiz está entre
e
.
Passo 3
Método da Bissecção - Iteração 2
Agora, o novo intervalo é
.
Calculamos o ponto médio:
Achamos que
, então
é uma raiz exata nesse caso.
Passo 4
Método da Bissecção - Iteração 3
Apesar de termos encontrado a raiz na segunda iteração, vamos considerar uma terceira iteração para reforçar o processo.
Intervalo permanece
.
Ponto médio:
Como
, a raiz está entre
e
.
Passo 5
Método das Cordas - Iteração 1
O método das cordas (ou secante) aproxima a raiz usando secantes entre pontos próximos. Precisamos de dois pontos iniciais próximos.
Vamos escolher
e
:
Calculamos
usando:
Substituindo:
Passo 6
Método das Cordas - Iteração 2
Agora, usamos
e
:
Calculamos
:
Passo 7
Método das Cordas - Iteração 3
Usamos
e
:
Calculamos
:
Passo 8
Método de Newton - Iteração 1
O método de Newton usa a derivada da função para aproximar a raiz. A fórmula é:
Primeiro, encontramos a derivada:
Escolhemos
:
Calculamos
:
Passo 9
Método de Newton - Iteração 2
Usamos
:
Calculamos
:
Passo 10
Método de Newton - Iteração 3
Usamos
:
Calculamos
:
Resposta
Após três iterações em cada método, aproximamos a raiz real de
como
.
Exercícios relacionados
Calcular pelo menos uma raiz real da função pelo método de bissecção, método de cordas e método de Newton, com pelo menos três iterações.
Calcular pelo menos uma raiz real da função pelo método de bissecção, método de cordas e método de Newton, com pelo menos três iterações.
Calcular pelo menos uma raiz real da função pelo método de bissecção, método de cordas e método de Newton, com pelo menos três iterações.
Calcular pelo menos uma raiz real da função pelo método de bissecção, método de cordas e método de Newton, com pelo menos três iterações.