Calcular pelo menos uma raiz real da função pelo método de bissecção, método de cordas e método de Newton, com pelo menos três iterações.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar pelo menos uma raiz real da função
usando três métodos diferentes: bissecção, cordas e Newton. Vamos dar pelo menos três iterações em cada método para aproximar a raiz. Para isso, vamos precisar entender como cada método funciona e aplicar passo a passo.
Passo 2
Método da Bissecção
O que é?
O método da bissecção é uma técnica simples para encontrar raízes de funções contínuas. A ideia é dividir um intervalo onde a função muda de sinal e, repetidamente, reduzir esse intervalo pela metade até chegar perto da raiz.
O método da bissecção é uma técnica simples para encontrar raízes de funções contínuas. A ideia é dividir um intervalo onde a função muda de sinal e, repetidamente, reduzir esse intervalo pela metade até chegar perto da raiz.
Passo a Passo:
-
Escolha do intervalo inicial
:
Precisamos encontrar dois valores,e , onde e têm sinais opostos, garantindo que haja pelo menos uma raiz nesse intervalo pela regra de Bolzano. Vamos testar:Comoe , temos . Então, nosso intervalo inicial é . -
-
Primeira Iteração:
- Calcula o ponto médio:
- Avalia
- Como
, a raiz está no intervalo .
- Calcula o ponto médio:
-
Segunda Iteração:
- Novo ponto médio:
- Avalia
- Como
, a raiz está no intervalo .
- Novo ponto médio:
-
Terceira Iteração:
- Novo ponto médio:
- Avalia
- Como
, a raiz está no intervalo .
- Novo ponto médio:
Após três iterações, a raiz está aproximadamente em
.
Método das Cordas (Secante)
O que é?
O método das cordas, ou método da secante, utiliza duas aproximações iniciais e encontra a linha que os liga. O ponto onde essa linha intercepta o eixo é a próxima aproximação para a raiz.
O método das cordas, ou método da secante, utiliza duas aproximações iniciais e encontra a linha que os liga. O ponto onde essa linha intercepta o eixo
Passo a Passo:
-
Escolha dos pontos iniciais
e :
Vamos usar os valorese , já que e têm sinais opostos. -
Primeira Iteração:
- Fórmula:
- Calcula
- Fórmula:
-
Segunda Iteração:
- Agora,
e - Calcula
- Calcula
- Agora,
-
Terceira Iteração:
- Agora,
e - Calcula
- Calcula
- Agora,
Após três iterações, a raiz está aproximadamente em
.
Método de Newton-Raphson
O que é?
O método de Newton-Raphson usa a derivada da função para encontrar tangentes que se aproximam da raiz. A cada iteração, usa-se a inclinação da tangente para atualizar a aproximação da raiz.
O método de Newton-Raphson usa a derivada da função para encontrar tangentes que se aproximam da raiz. A cada iteração, usa-se a inclinação da tangente para atualizar a aproximação da raiz.
Passo a Passo:
-
Escolha do ponto inicial
:
Vamos usar, já que está próximo da raiz. -
Cálculo da derivada
:
-
Primeira Iteração:
- Calcula
e - Atualiza:
- Calcula
-
Segunda Iteração:
- Calcula
- Calcula
- Atualiza:
- Calcula
-
Terceira Iteração:
- Calcula
- Calcula
- Atualiza:
- Calcula
Após três iterações, a raiz está aproximadamente em
.
Resposta
Após três iterações de cada método, estimamos que a raiz real da função
está aproximadamente em:
- Bissecção: Entre
e - Cordas: Entre
e - Newton-Raphson: Aproximadamente
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Onde k é a constante de Michaelis, [S] é a concentração molar do substrato S , e é a velocidade máxima da reação. Os Seguintes dados foram obtidos para [S] e v
Onde k é a constante de Michaelis, [S] é a concentração molar do substrato S , e
[S].10
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30,8 | 14,6 | 8,57 | 4,60 | 2,24 | 1,28 | 0,32 |
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v.
|
20 | 17,5 | 15,0 | 11,5 | 7,5 | 5,0 | 1,5 |
1)Com os valores da Tabela estime os valores de
e
usando o método dos mínimos quadrados.
(TRÊS CASAS DECIMAIS).
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