Calcular pelo menos uma raiz real da função pelo método de bissecção, método de cordas e método de Newton, com pelo menos três iterações.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar pelo menos uma raiz real da função usando três métodos diferentes: bissecção, cordas e Newton. Vamos dar pelo menos três iterações em cada método para aproximar a raiz. Para isso, vamos precisar entender como cada método funciona e aplicar passo a passo.

Passo 2

Método da Bissecção

O que é?
O método da bissecção é uma técnica simples para encontrar raízes de funções contínuas. A ideia é dividir um intervalo onde a função muda de sinal e, repetidamente, reduzir esse intervalo pela metade até chegar perto da raiz.
Passo a Passo:
  1. Escolha do intervalo inicial :
    Precisamos encontrar dois valores, e , onde e têm sinais opostos, garantindo que haja pelo menos uma raiz nesse intervalo pela regra de Bolzano.
    Vamos testar:
    Como e , temos . Então, nosso intervalo inicial é .
  2. Primeira Iteração:
    • Calcula o ponto médio:
    • Avalia
    • Como , a raiz está no intervalo .
  3. Segunda Iteração:
    • Novo ponto médio:
    • Avalia
    • Como , a raiz está no intervalo .
  4. Terceira Iteração:
    • Novo ponto médio:
    • Avalia
    • Como , a raiz está no intervalo .
Após três iterações, a raiz está aproximadamente em .

Método das Cordas (Secante)

O que é?
O método das cordas, ou método da secante, utiliza duas aproximações iniciais e encontra a linha que os liga. O ponto onde essa linha intercepta o eixo é a próxima aproximação para a raiz.
Passo a Passo:
  1. Escolha dos pontos iniciais e :
    Vamos usar os valores e , já que e têm sinais opostos.
  2. Primeira Iteração:
    • Fórmula:
    • Calcula
  3. Segunda Iteração:
    • Agora, e
    • Calcula
    • Calcula
  4. Terceira Iteração:
    • Agora, e
    • Calcula
    • Calcula
Após três iterações, a raiz está aproximadamente em .

Método de Newton-Raphson

O que é?
O método de Newton-Raphson usa a derivada da função para encontrar tangentes que se aproximam da raiz. A cada iteração, usa-se a inclinação da tangente para atualizar a aproximação da raiz.
Passo a Passo:
  1. Escolha do ponto inicial :
    Vamos usar , já que está próximo da raiz.
  2. Cálculo da derivada :
  3. Primeira Iteração:
    • Calcula e
    • Atualiza:
  4. Segunda Iteração:
    • Calcula
    • Calcula
    • Atualiza:
  5. Terceira Iteração:
    • Calcula
    • Calcula
    • Atualiza:
Após três iterações, a raiz está aproximadamente em .

Resposta

Após três iterações de cada método, estimamos que a raiz real da função está aproximadamente em:
  • Bissecção: Entre e
  • Cordas: Entre e
  • Newton-Raphson: Aproximadamente

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