Calcular pelo menos uma raiz real da função pelo método de bissecção, método de cordas e método de Newton, com pelo menos três iterações. f(x)=2 x^3-5

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada é encontrar pelo menos uma raiz real da função usando três métodos diferentes: método da bisseção, método das cordas e método de Newton. Para isso, vamos precisar entender como cada método funciona e seguir passo a passo as iterações necessárias para chegar na solução.

Passo 2

Método da Bisseção

Primeiro, o método da bisseção é usado para encontrar raízes de funções contínuas em um intervalo onde a função muda de sinal, ou seja, f(1) = 2(1)^3 - 5 = 2 - 5 = -3 . Vamos encontrar um intervalo inicial onde isso acontece.
Passo 2.1: Escolhemos dois números f(2) = 2(2)^3 - 5 = 16 - 5 = 11 e c = 1 + 22 = 1.5 tais que f(1.5) = 2(1.5)^3 - 5 = 2(3.375) - 5 = 6.75 - 5 = 1.75 e c = 1 + 1.52 = 1.25 tenham sinais opostos.
Vamos testar f(1.25) = 2(1.25)^3 - 5 = 2(1.953125) - 5 = 3.90625 - 5 = -1.09375 :
E :
Como , temos um intervalo válido.
Passo 2.2: Calculamos o ponto médio do intervalo :
Como , a raiz está no intervalo .
Passo 2.3: Calculamos o novo ponto médio do intervalo :
Agora, , então a raiz está no intervalo .

Passo 3

Método das Cordas

O método das cordas, também conhecido como método da secante, utiliza duas aproximações iniciais e traça uma linha entre elas para encontrar uma nova aproximação.
Passo 3.1: Escolhemos duas aproximações iniciais. Vamos usar x2 = x1 - f(x1) cdot x1 - x0f(x1) - f(x0) e x2 = 2 - 11 cdot 2 - 111 - (-3) = 2 - 11 cdot 114 approx 2 - 0.7857 = 1.2143 .
Calculamos x3 = 1.2143 - (-1.426) cdot 1.2143 - 2-1.426 - 11 e x3 approx 1.2143 - (-1.426) cdot -0.7857-12.426 .
Passo 3.2: Calculamos a próxima aproximação x3 approx 1.2143 - (-1.426) cdot 0.0633 approx 1.2143 + 0.0903 approx 1.3046 usando a fórmula:
Passo 3.3: Atualizamos e .
Calculamos .
Calculamos :

Passo 4

Método de Newton

O método de Newton usa a derivada da função para encontrar aproximações sucessivas da raiz. Vamos precisar da derivada de f'(x) = ddx(2x^3 - 5) = 6x^2 .
Passo 4.1: Calculamos a derivada x1 = x0 - f(x0)f'(x0) = 1.5 - 1.7513.5 approx 1.5 - 0.1296 = 1.3704 :
x2 = 1.3704 - 0.14211.262 approx 1.3704 - 0.0126 = 1.3578
Passo 4.2: Escolhemos um ponto inicial . Vamos usar .
Calculamos e .
Calculamos a próxima aproximação :
Passo 4.3: Repetimos com .
Calculamos e .
Calculamos :

Resposta

Após três iterações em cada método, uma aproximação da raiz real da função é aproximadamente .

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