Calcular pelo menos uma raiz real da função pelo método de bissecção, método de cordas e método de Newton, com pelo menos três iterações.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada é encontrar pelo menos uma raiz real da função usando três métodos diferentes: método da bisseção, método das cordas e método de Newton. Para isso, vamos precisar entender como cada método funciona e seguir passo a passo as iterações necessárias para chegar na solução.

Passo 2

Método da Bisseção

Primeiro, o método da bisseção é usado para encontrar raízes de funções contínuas em um intervalo onde a função muda de sinal, ou seja, . Vamos encontrar um intervalo inicial onde isso acontece.
Passo 2.1: Escolhemos dois números e tais que e tenham sinais opostos.
Vamos testar :
E :
Como , temos um intervalo válido.
Passo 2.2: Calculamos o ponto médio do intervalo :
Como , a raiz está no intervalo .
Passo 2.3: Calculamos o novo ponto médio do intervalo :
Agora, , então a raiz está no intervalo .

Passo 3

Método das Cordas

O método das cordas, também conhecido como método da secante, utiliza duas aproximações iniciais e traça uma linha entre elas para encontrar uma nova aproximação.
Passo 3.1: Escolhemos duas aproximações iniciais. Vamos usar e .
Calculamos e .
Passo 3.2: Calculamos a próxima aproximação usando a fórmula:
Passo 3.3: Atualizamos e .
Calculamos .
Calculamos :

Passo 4

Método de Newton

O método de Newton usa a derivada da função para encontrar aproximações sucessivas da raiz. Vamos precisar da derivada de .
Passo 4.1: Calculamos a derivada :
Passo 4.2: Escolhemos um ponto inicial . Vamos usar .
Calculamos e .
Calculamos a próxima aproximação :
Passo 4.3: Repetimos com .
Calculamos e .
Calculamos :

Resposta

Após três iterações em cada método, uma aproximação da raiz real da função é aproximadamente .

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