Calcular pelo menos uma raiz real da função pelo método de bissecção, método de cordas e método de Newton, com pelo menos três iterações.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada é encontrar pelo menos uma raiz real da função
usando três métodos diferentes: método da bisseção, método das cordas e método de Newton. Para isso, vamos precisar entender como cada método funciona e seguir passo a passo as iterações necessárias para chegar na solução.
Passo 2
Método da Bisseção
Primeiro, o método da bisseção é usado para encontrar raízes de funções contínuas em um intervalo onde a função muda de sinal, ou seja,
. Vamos encontrar um intervalo inicial onde isso acontece.
Passo 2.1: Escolhemos dois números
e
tais que
e
tenham sinais opostos.
Vamos testar
:
E
:
Como
, temos um intervalo válido.
Passo 2.2: Calculamos o ponto médio
do intervalo
:
Como
, a raiz está no intervalo
.
Passo 2.3: Calculamos o novo ponto médio
do intervalo
:
Agora,
, então a raiz está no intervalo
.
Passo 3
Método das Cordas
O método das cordas, também conhecido como método da secante, utiliza duas aproximações iniciais e traça uma linha entre elas para encontrar uma nova aproximação.
Passo 3.1: Escolhemos duas aproximações iniciais. Vamos usar
e
.
Calculamos
e
.
Passo 3.2: Calculamos a próxima aproximação
usando a fórmula:
Passo 3.3: Atualizamos
e
.
Calculamos
.
Calculamos
:
Passo 4
Método de Newton
O método de Newton usa a derivada da função para encontrar aproximações sucessivas da raiz. Vamos precisar da derivada de
.
Passo 4.1: Calculamos a derivada
:
Passo 4.2: Escolhemos um ponto inicial
. Vamos usar
.
Calculamos
e
.
Calculamos a próxima aproximação
:
Passo 4.3: Repetimos com
.
Calculamos
e
.
Calculamos
:
Resposta
Após três iterações em cada método, uma aproximação da raiz real da função
é aproximadamente
.
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