Calcular pelo menos uma raiz real da função pelo método de bissecção, método de cordas e método de Newton, com pelo menos três iterações. f(x)=x^2-3

Passo 1

Vamos resolver o exercício de encontrar pelo menos uma raiz real da função utilizando três métodos: Bissecção, Método das Cordas e Método de Newton. Para isso, vamos precisar entender como cada método funciona e aplicar pelo menos três iterações em cada um deles.

Passo 2

Método da Bissecção

O método da bissecção é utilizado para encontrar raízes de funções contínuas dividindo repetidamente um intervalo em duas partes e selecionando a subintervalo que contém a raiz. Precisamos escolher um intervalo onde e tenham sinais opostos, garantindo que exista pelo menos uma raiz nesse intervalo.
Vamos escolher e para a função :
Como é negativo e é positivo, sabemos que existe pelo menos uma raiz entre 1 e 2.

Passo 3

Iteração 1 (Bissecção)

Calculamos o ponto médio do intervalo c1 = 1 + 22 = 1,5 :
f(1,5) = (1,5)^2 - 3 = 2,25 - 3 = -0,75
Avaliar :
Como é negativo e é positivo, a raiz está no intervalo .

Passo 4

Iteração 2 (Bissecção)

Novo intervalo: c2 = 1,5 + 22 = 1,75 . Calculamos o ponto médio:
f(1,75) = (1,75)^2 - 3 = 3,0625 - 3 = 0,0625
Avaliar :
Como é positivo e é negativo, a raiz está no intervalo .

Passo 5

Iteração 3 (Bissecção)

Novo intervalo: c3 = 1,5 + 1,752 = 1,625 . Calculamos o ponto médio:
f(1,625) = (1,625)^2 - 3 = 2,640625 - 3 = -0,359375
Avaliar :
Como é negativo e é positivo, a raiz está no intervalo .

Passo 6

Método das Cordas

O método das cordas utiliza duas aproximações iniciais xn+1 = xn - f(xn) cdot xn - xn-1f(xn) - f(xn-1) e para gerar sucessivas aproximações da raiz através da fórmula:
Vamos escolher e .

Passo 7

Iteração 1 (Cordas)

Calculamos x2 = 2 - f(2)f(2) - f(1) cdot (2 - 1) = 2 - 11 - (-2) cdot 1 = 2 - 13 approx 1,6667 :

Passo 8

Iteração 2 (Cordas)

Agora, usamos f(1,6667) = (1,6667)^2 - 3 approx -0,3056 e x3 = 1,6667 - f(1,6667)f(1,6667) - f(2) cdot (1,6667 - 2) approx 1,6667 - -0,3056-0,3056 - 1 cdot (-0,3333) approx 1,6667 + 0,125 = 1,7917 :
Calculamos :

Passo 9

Iteração 3 (Cordas)

Agora, usamos f(1,7917) = (1,7917)^2 - 3 approx 0,2083 e x4 = 1,7917 - f(1,7917)f(1,7917) - f(1,6667) cdot (1,7917 - 1,6667) approx 1,7917 - 0,20830,2083 - (-0,3056) cdot 0,125 approx 1,7917 - 0,0652 approx 1,7265 :
Calculamos :

Passo 10

Método de Newton

O Método de Newton utiliza uma aproximação inicial xn+1 = xn - f(xn)f'(xn) e a derivada da função para encontrar sucessivas aproximações da raiz através da fórmula:
Para , a derivada é . Vamos escolher .

Passo 11

Iteração 1 (Newton)

Calculamos x1 = 2 - f(2)f'(2) = 2 - 14 = 1,75 :

Passo 12

Iteração 2 (Newton)

Calculamos x2 = 1,75 - 0,06253,5 approx 1,75 - 0,017857 approx 1,732143
Calculamos

Passo 13

Iteração 3 (Newton)

Calculamos x3 = 1,732143 - 0,0002043,464286 approx 1,732143 - 0,000059 approx 1,732084
Calculamos

Resposta

Após aplicar os três métodos com pelo menos três iterações cada, encontramos que uma raiz real da função é aproximadamente .

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