Calcular pelo menos uma raiz real da função pelo método de bissecção, método de cordas e método de Newton, com pelo menos três iterações.

Passo 1

Vamos resolver o exercício de encontrar pelo menos uma raiz real da função utilizando três métodos: Bissecção, Método das Cordas e Método de Newton. Para isso, vamos precisar entender como cada método funciona e aplicar pelo menos três iterações em cada um deles.

Passo 2

Método da Bissecção

O método da bissecção é utilizado para encontrar raízes de funções contínuas dividindo repetidamente um intervalo em duas partes e selecionando a subintervalo que contém a raiz. Precisamos escolher um intervalo onde e tenham sinais opostos, garantindo que exista pelo menos uma raiz nesse intervalo.
Vamos escolher e para a função :
Como é negativo e é positivo, sabemos que existe pelo menos uma raiz entre 1 e 2.

Passo 3

Iteração 1 (Bissecção)

Calculamos o ponto médio do intervalo :
Avaliar :
Como é negativo e é positivo, a raiz está no intervalo .

Passo 4

Iteração 2 (Bissecção)

Novo intervalo: . Calculamos o ponto médio:
Avaliar :
Como é positivo e é negativo, a raiz está no intervalo .

Passo 5

Iteração 3 (Bissecção)

Novo intervalo: . Calculamos o ponto médio:
Avaliar :
Como é negativo e é positivo, a raiz está no intervalo .

Passo 6

Método das Cordas

O método das cordas utiliza duas aproximações iniciais e para gerar sucessivas aproximações da raiz através da fórmula:
Vamos escolher e .

Passo 7

Iteração 1 (Cordas)

Calculamos :

Passo 8

Iteração 2 (Cordas)

Agora, usamos e :
Calculamos :

Passo 9

Iteração 3 (Cordas)

Agora, usamos e :
Calculamos :

Passo 10

Método de Newton

O Método de Newton utiliza uma aproximação inicial e a derivada da função para encontrar sucessivas aproximações da raiz através da fórmula:
Para , a derivada é . Vamos escolher .

Passo 11

Iteração 1 (Newton)

Calculamos :

Passo 12

Iteração 2 (Newton)

Calculamos
Calculamos

Passo 13

Iteração 3 (Newton)

Calculamos
Calculamos

Resposta

Após aplicar os três métodos com pelo menos três iterações cada, encontramos que uma raiz real da função é aproximadamente .

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Responda verdadeiro ou falso (e justifique): . Se então o sistema linear admite solução única.