Calcular pelo menos uma raiz real da função pelo método de bissecção, método de cordas e método de Newton, com pelo menos três iterações.
Passo 1
Vamos resolver o exercício de encontrar pelo menos uma raiz real da função
utilizando três métodos: Bissecção, Método das Cordas e Método de Newton. Para isso, vamos precisar entender como cada método funciona e aplicar pelo menos três iterações em cada um deles.
Passo 2
Método da Bissecção
O método da bissecção é utilizado para encontrar raízes de funções contínuas dividindo repetidamente um intervalo em duas partes e selecionando a subintervalo que contém a raiz. Precisamos escolher um intervalo
onde
e
tenham sinais opostos, garantindo que exista pelo menos uma raiz nesse intervalo.
Vamos escolher
e
para a função
:
Como
é negativo e
é positivo, sabemos que existe pelo menos uma raiz entre 1 e 2.
Passo 3
Iteração 1 (Bissecção)
Calculamos o ponto médio do intervalo
:
Avaliar
:
Como
é negativo e
é positivo, a raiz está no intervalo
.
Passo 4
Iteração 2 (Bissecção)
Novo intervalo:
. Calculamos o ponto médio:
Avaliar
:
Como
é positivo e
é negativo, a raiz está no intervalo
.
Passo 5
Iteração 3 (Bissecção)
Novo intervalo:
. Calculamos o ponto médio:
Avaliar
:
Como
é negativo e
é positivo, a raiz está no intervalo
.
Passo 6
Método das Cordas
O método das cordas utiliza duas aproximações iniciais
e
para gerar sucessivas aproximações da raiz através da fórmula:
Vamos escolher
e
.
Passo 7
Iteração 1 (Cordas)
Calculamos
:
Passo 8
Iteração 2 (Cordas)
Agora, usamos
e
:
Calculamos
:
Passo 9
Iteração 3 (Cordas)
Agora, usamos
e
:
Calculamos
:
Passo 10
Método de Newton
O Método de Newton utiliza uma aproximação inicial
e a derivada da função para encontrar sucessivas aproximações da raiz através da fórmula:
Para
, a derivada é
. Vamos escolher
.
Passo 11
Iteração 1 (Newton)
Calculamos
:
Passo 12
Iteração 2 (Newton)
Calculamos
Calculamos
Passo 13
Iteração 3 (Newton)
Calculamos
Calculamos
Resposta
Após aplicar os três métodos com pelo menos três iterações cada, encontramos que uma raiz real da função
é aproximadamente
.
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Responda verdadeiro ou falso (e justifique):
. Se
então o sistema linear
admite solução única.