Calcular pelo menos uma raiz real da função pelo método de bissecção, método de cordas e método de Newton, com pelo menos três iterações. f(x)=x^2-16+sin (x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar pelo menos uma raiz real da função usando três métodos diferentes: bissecção, cordas e Newton. Para isso, vamos precisar entender cada método e realizar pelo menos três iterações em cada um para chegar a uma raiz aproximada.

Passo 2

Método da Bissecção
Esse método funciona escolhendo um intervalo onde a função muda de sinal, ou seja, . A cada iteração, dividimos o intervalo ao meio e verificamos em qual subintervalo ocorre a mudança de sinal. Repetimos o processo até encontrar a raiz com a precisão desejada.
Primeira Iteração:
Vamos escolher e .
Calculamos .
Calculamos .
Como , precisamos ajustar o intervalo. Vamos tentar e .
Calculamos .
Agora, . Continuamos ajustando até encontrar um intervalo onde o sinal muda.
Segunda Iteração:
Escolhemos e .
Calculamos .
Agora, , então a raiz está entre 4 e 4.5.
Terceira Iteração:
Calculamos o ponto médio: .
Calculamos .
Como , a raiz está entre 4 e 4.25.

Passo 3

Método das Cordas (Secante)
Esse método usa duas aproximações iniciais próximas da raiz e traça uma corda entre esses pontos para encontrar uma nova aproximação. Repetimos o processo até chegar perto da raiz.
Primeira Iteração:
Vamos escolher x2 = x1 - f(x1) x1 - x0f(x1) - f(x0) = 5 - (-0.9589) 5 - 4-0.9589 - (-0.7568) approx 5 - (-0.9589) 1-0.2021 approx 5 + 4.75 = 9.75 e x3 = 9.75 - 78.8682 9.75 - 578.8682 - (-0.9589) approx 9.75 - 78.8682 4.7579.8271 approx 9.75 - 4.695 approx 5.055 .
Calculamos x4 = 5.055 - 8.6075 5.055 - 9.758.6075 - 78.8682 approx 5.055 - 8.6075 -4.695-70.2607 approx 5.055 - 0.575 approx 4.48 e .
A próxima aproximação é:
Segunda Iteração:
Agora, e .
Calculamos .
Calculamos:
Terceira Iteração:
Agora, e .
Calculamos .
Calculamos:

Passo 4

Método de Newton
Esse método utiliza a derivada da função para fazer aproximações cada vez mais precisas da raiz. A fórmula é:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
onde x1 = 4 - -0.75687.3464 approx 4 + 0.103 = 4.103 .
Primeira Iteração:
Vamos começar com x2 = 4.103 - 0.0147.630 approx 4.103 - 0.0018 = 4.1012 .
Calculamos x3 = 4.1012 - 0.0107.6214 approx 4.1012 - 0.0013 = 4.0999 e .
Segunda Iteração:
Agora, .
Calculamos .
Calculamos .
Terceira Iteração:
Agora, .
Calculamos .
Calculamos .

Resposta

Após pelo menos três iterações em cada método, uma raiz aproximada da função é .

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