Calcular pelo menos uma raiz real da função pelo método de bissecção, método de cordas e método de Newton, com pelo menos três iterações.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar pelo menos uma raiz real da função
usando três métodos diferentes: bissecção, cordas e Newton. Para isso, vamos precisar entender cada método e realizar pelo menos três iterações em cada um para chegar a uma raiz aproximada.
Passo 2
Método da Bissecção
Esse método funciona escolhendo um intervalo
onde a função muda de sinal, ou seja,
. A cada iteração, dividimos o intervalo ao meio e verificamos em qual subintervalo ocorre a mudança de sinal. Repetimos o processo até encontrar a raiz com a precisão desejada.
Primeira Iteração:
Vamos escolher e
.
Calculamos .
Calculamos .
Como , precisamos ajustar o intervalo. Vamos tentar
e
.
Calculamos .
Agora, . Continuamos ajustando até encontrar um intervalo onde o sinal muda.
Vamos escolher
Calculamos
Calculamos
Como
Calculamos
Agora,
Segunda Iteração:
Escolhemos e
.
Calculamos .
Agora, , então a raiz está entre 4 e 4.5.
Escolhemos
Calculamos
Agora,
Terceira Iteração:
Calculamos o ponto médio: .
Calculamos .
Como , a raiz está entre 4 e 4.25.
Calculamos o ponto médio:
Calculamos
Como
Passo 3
Método das Cordas (Secante)
Esse método usa duas aproximações iniciais próximas da raiz e traça uma corda entre esses pontos para encontrar uma nova aproximação. Repetimos o processo até chegar perto da raiz.
Primeira Iteração:
Vamos escolher e
.
Calculamos e
.
A próxima aproximação é:
Vamos escolher
Calculamos
A próxima aproximação é:
Segunda Iteração:
Agora, e
.
Calculamos .
Calculamos:
Agora,
Calculamos
Calculamos:
Terceira Iteração:
Agora, e
.
Calculamos .
Calculamos:
Agora,
Calculamos
Calculamos:
Passo 4
Método de Newton
Esse método utiliza a derivada da função para fazer aproximações cada vez mais precisas da raiz. A fórmula é:
onde
.
Primeira Iteração:
Vamos começar com .
Calculamos e
.
Vamos começar com
Calculamos
Segunda Iteração:
Agora, .
Calculamos .
Calculamos .
Agora,
Calculamos
Calculamos
Terceira Iteração:
Agora, .
Calculamos .
Calculamos .
Agora,
Calculamos
Calculamos
Resposta
Após pelo menos três iterações em cada método, uma raiz aproximada da função
é
.
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Calcular pelo menos uma raiz real da função pelo método de bissecção, método de cordas e método de Newton, com pelo menos três iterações.
Calcular pelo menos uma raiz real da função pelo método de bissecção, método de cordas e método de Newton, com pelo menos três iterações.
Responda verdadeiro ou falso (e justifique):
. Se
então o sistema linear
admite solução única.
(2,0 pontos) Utilize o método da secante para determinar uma raiz da função
com
.