Responda verdadeiro ou falso (e justifique): . Se então o sistema linear admite solução única.

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: Temos uma matriz quadrada de dimensões e um vetor de dimensão . A questão pede para responder se a afirmação “Se o posto de é igual ao posto da matriz aumentada , então o sistema linear admite solução única” é verdadeira ou falsa. Para resolver isso, vamos usar conceitos de sistemas lineares, posto de uma matriz e soluções de sistemas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o posto de uma matriz. O posto de uma matriz é o número máximo de colunas (ou linhas) linearmente independentes que ela possui. Em termos simples, ele nos diz a “dimensão” do espaço gerado pelas colunas da matriz.

Passo 3

A matriz aumentada é formada ao acrescentar o vetor como uma coluna adicional à matriz . O posto dessa matriz aumentada nos ajuda a determinar se o sistema é compatível (tem pelo menos uma solução) ou incompatível (não tem solução).

Passo 4

A afirmação afirma que se o posto de é igual ao posto de , então o sistema tem uma solução única. Vamos verificar isso:
  • Se , o sistema é compatível, ou seja, há pelo menos uma solução.
  • No entanto, para que a solução seja única, a matriz precisa ser não singular, ou seja, ter posto completo. Em uma matriz quadrada , isso significa que .

Passo 5

Mas a condição por si só não garante que . É possível que ambos os postos sejam iguais, mas menores que . Nesse caso, o sistema teria infinitas soluções.

Passo 6

Portanto, somente saber que os postos são iguais garante que o sistema é compatível, mas não necessariamente que a solução é única. Para ter uma solução única, precisamos de mais informações, especificamente que .

Resposta

Falso. A igualdade dos postos de e garante que o sistema tem pelo menos uma solução, mas não assegura que a solução seja única.

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