Responda verdadeiro ou falso (e justifique):
. Se
então o sistema linear
admite solução única.
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: Temos uma matriz quadrada
de dimensões
e um vetor
de dimensão
. A questão pede para responder se a afirmação “Se o posto de
é igual ao posto da matriz aumentada
, então o sistema linear
admite solução única” é verdadeira ou falsa. Para resolver isso, vamos usar conceitos de sistemas lineares, posto de uma matriz e soluções de sistemas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o posto de uma matriz. O posto de uma matriz é o número máximo de colunas (ou linhas) linearmente independentes que ela possui. Em termos simples, ele nos diz a “dimensão” do espaço gerado pelas colunas da matriz.
Passo 3
A matriz aumentada
é formada ao acrescentar o vetor
como uma coluna adicional à matriz
. O posto dessa matriz aumentada nos ajuda a determinar se o sistema
é compatível (tem pelo menos uma solução) ou incompatível (não tem solução).
Passo 4
A afirmação afirma que se o posto de
é igual ao posto de
, então o sistema
tem uma solução única. Vamos verificar isso:
- Se
, o sistema é compatível, ou seja, há pelo menos uma solução. - No entanto, para que a solução seja única, a matriz
precisa ser não singular, ou seja, ter posto completo. Em uma matriz quadrada , isso significa que .
Passo 5
Mas a condição
por si só não garante que
. É possível que ambos os postos sejam iguais, mas menores que
. Nesse caso, o sistema teria infinitas soluções.
Passo 6
Portanto, somente saber que os postos são iguais garante que o sistema é compatível, mas não necessariamente que a solução é única. Para ter uma solução única, precisamos de mais informações, especificamente que
.
Resposta
Falso. A igualdade dos postos de
e
garante que o sistema
tem pelo menos uma solução, mas não assegura que a solução seja única.
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(2,0 pontos) Utilize o método da secante para determinar uma raiz da função
com
.
(2,0 pontos) Aplique o método de Newton para determinar uma raiz da função complexa
.