(2,0 pontos) Utilize o método da secante para determinar uma raiz da função f(x)=e^x-x^2+3 x-2 com 0 <= x <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para usarmos o método da secante para encontrar uma raiz da função no intervalo de .
O método da secante é uma técnica numérica para estimar raízes de funções. Ele usa duas aproximações iniciais e, a cada passo, gera uma nova aproximação baseada na interseção da secante com o eixo . Para aplicar esse método, vamos precisar calcular valores da função em dois pontos e iterar até encontrar uma aproximação satisfatória da raiz.

Passo 2

Primeiro, escolhemos dois valores iniciais dentro do intervalo dado. Vamos tentar f(0) = e^0 - 0^2 + 3(0) - 2 = 1 - 0 + 0 - 2 = -1 e f(1) = e^1 - 1^2 + 3(1) - 2 = e - 1 + 3 - 2 = e approx 2.718 .
Calculando e :

Passo 3

Agora, aplicamos a fórmula do método da secante para encontrar a próxima aproximação x2 = x1 - f(x1) cdot x1 - x0f(x1) - f(x0) :
x2 = 1 - 2.718 cdot 1 - 02.718 - (-1) = 1 - 2.718 cdot 13.718 approx 1 - 0.731 = 0.269
Substituindo os valores:

Passo 4

Vamos calcular f(0.269) = e^0.269 - (0.269)^2 + 3(0.269) - 2 approx 1.309 - 0.072 + 0.807 - 2 approx 1.044 :

Passo 5

Com x3 = 0.269 - 1.044 cdot 0.269 - 11.044 - 2.718 approx 0.269 - 1.044 cdot -0.731-1.674 approx 0.269 - 0.455 = -0.186 e , aplicamos novamente a fórmula:
Mas como estamos buscando no intervalo , ajustamos a aproximação para .

Passo 6

Repetimos o processo com f(0.455) = e^0.455 - (0.455)^2 + 3(0.455) - 2 approx 1.575 - 0.207 + 1.365 - 2 approx 0.733 e x4 = 0.455 - 0.733 cdot 0.455 - 0.2690.733 - 1.044 approx 0.455 - 0.733 cdot 0.186-0.311 approx 0.455 + 0.439 = 0.894 :

Passo 7

Continuando, calculamos f(0.894) = e^0.894 - (0.894)^2 + 3(0.894) - 2 approx 2.446 - 0.799 + 2.682 - 2 approx 2.329 :
x5 = 0.894 - 2.329 cdot 0.894 - 0.4552.329 - 0.733 approx 0.894 - 2.329 cdot 0.4391.596 approx 0.894 - 0.643 = 0.251

Passo 8

Repetindo mais uma vez com f(0.251) = e^0.251 - (0.251)^2 + 3(0.251) - 2 approx 1.285 - 0.063 + 0.753 - 2 approx -0.025 e x6 = 0.251 - (-0.025) cdot 0.251 - 0.894-0.025 - 2.329 approx 0.251 - (-0.025) cdot -0.643-2.354 approx 0.251 - (-0.025) cdot 0.273 approx 0.251 + 0.007 = 0.258 :

Resposta

Após aplicar o método da secante várias vezes, convergimos para uma raiz aproximada em no intervalo de .

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