Calcular os pesos e montar, por extenso, a expressão (1) para:
a) (Fórmula do Trapézio)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular os pesos e montar a expressão completa da Fórmula do Trapézio para quando . Vamos usar conceitos de integração numérica, especificamente a regra do trapézio, e vamos precisar entender como esses pesos são determinados.

Passo 2

Primeiro, a Regra do Trapézio é uma técnica usada para aproximar a integral definida de uma função. A ideia é dividir a área sob a curva da função em trapézios, em vez de retângulos, o que geralmente dá uma aproximação mais precisa. Quando , significa que vamos usar apenas um trapézio para essa aproximação.

Passo 3

Vamos considerar que estamos integrando uma função no intervalo . Com , o comprimento do intervalo, chamado de , é simplesmente:

Passo 4

Na Regra do Trapézio, a aproximação da integral é dada por:
Aqui, funciona como um peso para os valores da função nos pontos e .

Passo 5

Comparando com a expressão geral que envolve os pesos :
Perceba que temos dois pontos e . Comparando as duas equações, podemos identificar os pesos:

Resposta

Os pesos são e . Assim, a expressão completa da Regra do Trapézio para é:

Exercícios relacionados

O problema de valor inicial:
tem como solução exata . Usando o método de Euler, determine com . Era de se esperar tal concordância mesmo com grande? Por quê?
Considere as integrais:
a)
Estime por Quadratura Gaussiana com 2 e 3 pontos.
Quantos subintervalos devem ser usados no cálculo de
para que a aproximação tenha erro menor que nos casos:
a) Fórmula dos trapézios. (Resp: )
Resolva o seguinte problema de valor inicial:
para e usando o método de Euler.