Calcular os pesos
e montar, por extenso, a expressão (1) para:
a)
(Fórmula do Trapézio)
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular os pesos
e montar a expressão completa da Fórmula do Trapézio para quando
. Vamos usar conceitos de integração numérica, especificamente a regra do trapézio, e vamos precisar entender como esses pesos são determinados.
Passo 2
Primeiro, a Regra do Trapézio é uma técnica usada para aproximar a integral definida de uma função. A ideia é dividir a área sob a curva da função em trapézios, em vez de retângulos, o que geralmente dá uma aproximação mais precisa. Quando
, significa que vamos usar apenas um trapézio para essa aproximação.
Passo 3
Vamos considerar que estamos integrando uma função
no intervalo
. Com
, o comprimento do intervalo, chamado de
, é simplesmente:
Passo 4
Na Regra do Trapézio, a aproximação da integral é dada por:
Aqui,
funciona como um peso para os valores da função nos pontos
e
.
Passo 5
Comparando com a expressão geral que envolve os pesos
:
Perceba que temos dois pontos
e
. Comparando as duas equações, podemos identificar os pesos:
Resposta
Os pesos são
e
. Assim, a expressão completa da Regra do Trapézio para
é:
Exercícios relacionados
O problema de valor inicial:
tem como solução exata
. Usando o método de Euler, determine
com
. Era de se esperar tal concordância mesmo com
grande? Por quê?
Considere as integrais:
a)
Estime por Quadratura Gaussiana com 2 e 3 pontos.
a)
Estime
Quantos subintervalos devem ser usados no cálculo de
para que a aproximação tenha erro menor que
nos casos:
a) Fórmula dos trapézios. (Resp: )
a) Fórmula dos trapézios. (Resp:
Resolva o seguinte problema de valor inicial:
para
e
usando o método de Euler.