Quantos subintervalos devem ser usados no cálculo de
integral0^1 e^-x^2 d x
para que a aproximação tenha erro menor que 10^-4 nos casos:
a) Fórmula dos trapézios. (Resp: nt=41 )

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a gente precisa fazer aqui. Temos que calcular a integral de integral0^1 e^-x^2 dx de a , ou seja,
E a gente quer usar a fórmula dos trapézios para aproximar esse valor. O desafio é descobrir quantos subintervalos ( ) a gente precisa dividir o intervalo para que o erro da aproximação seja menor que . Pra resolver isso, vamos precisar usar a fórmula de erro da regra dos trapézios e algumas propriedades da função que estamos integrando.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como funciona a fórmula dos trapézios. Ela aproxima a integral dividindo o intervalo em E <= (b - a)^312 n^2 cdot maxa <= x <= b |f''(x)| partes iguais e aproximando a área sob a curva por trapézios. A fórmula de erro para a regra dos trapézios é dada por:
Aqui, é o erro, e são os limites da integral, é o número de subintervalos, e é a segunda derivada da função que estamos integrando.

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula ao nosso problema. Primeiro, identificamos os valores:
  • f'(x) = -2x e^-x^2 f''(x) = (4x^2 - 2) e^-x^2
  • f''(0) = (4 cdot 0^2 - 2) e^-0^2 = -2 cdot 1 = -2 Rightarrow |f''(0)| = 2
Precisamos encontrar a segunda derivada de :
Agora, determinamos o valor máximo de no intervalo . A função atinge seu valor máximo em , onde:
Então, .

Passo 4

Agora, substituímos esses valores na fórmula de erro:
10^-4 >= (1 - 0)^312 n^2 cdot 2 10^-4 >= 212 n^2 10^-4 >= 16 n^2
Resolvendo para 16 n^2 <= 10^-4 6 n^2 >= 10^4 n^2 >= 10^46 n >= raiz10^46 n >= raiz16666 n >= 40.82 :
n = 41
Como precisa ser um número inteiro, arredondamos para cima:

Resposta

Para que a aproximação pela fórmula dos trapézios tenha um erro menor que , devem ser usados 41 subintervalos.

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