Quantos subintervalos devem ser usados no cálculo de
para que a aproximação tenha erro menor que
nos casos:
a) Fórmula dos trapézios. (Resp:
)
a) Fórmula dos trapézios. (Resp:
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a gente precisa fazer aqui. Temos que calcular a integral de
de
a
, ou seja,
E a gente quer usar a fórmula dos trapézios para aproximar esse valor. O desafio é descobrir quantos subintervalos (
) a gente precisa dividir o intervalo
para que o erro da aproximação seja menor que
. Pra resolver isso, vamos precisar usar a fórmula de erro da regra dos trapézios e algumas propriedades da função que estamos integrando.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como funciona a fórmula dos trapézios. Ela aproxima a integral dividindo o intervalo em
partes iguais e aproximando a área sob a curva por trapézios. A fórmula de erro para a regra dos trapézios é dada por:
Aqui,
é o erro,
e
são os limites da integral,
é o número de subintervalos, e
é a segunda derivada da função que estamos integrando.
Passo 3
Vamos aplicar essa fórmula ao nosso problema. Primeiro, identificamos os valores:
Precisamos encontrar a segunda derivada de
:
Agora, determinamos o valor máximo de
no intervalo
. A função
atinge seu valor máximo em
, onde:
Então,
.
Passo 4
Agora, substituímos esses valores na fórmula de erro:
Resolvendo para
:
Como
precisa ser um número inteiro, arredondamos para cima:
Resposta
Para que a aproximação pela fórmula dos trapézios tenha um erro menor que
, devem ser usados 41 subintervalos.