Quantos subintervalos devem ser usados no cálculo de
para que a aproximação tenha erro menor que nos casos:
a) Fórmula dos trapézios. (Resp: )

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a gente precisa fazer aqui. Temos que calcular a integral de de a , ou seja,
E a gente quer usar a fórmula dos trapézios para aproximar esse valor. O desafio é descobrir quantos subintervalos ( ) a gente precisa dividir o intervalo para que o erro da aproximação seja menor que . Pra resolver isso, vamos precisar usar a fórmula de erro da regra dos trapézios e algumas propriedades da função que estamos integrando.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como funciona a fórmula dos trapézios. Ela aproxima a integral dividindo o intervalo em partes iguais e aproximando a área sob a curva por trapézios. A fórmula de erro para a regra dos trapézios é dada por:
Aqui, é o erro, e são os limites da integral, é o número de subintervalos, e é a segunda derivada da função que estamos integrando.

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula ao nosso problema. Primeiro, identificamos os valores:
Precisamos encontrar a segunda derivada de :
Agora, determinamos o valor máximo de no intervalo . A função atinge seu valor máximo em , onde:
Então, .

Passo 4

Agora, substituímos esses valores na fórmula de erro:
Resolvendo para :
Como precisa ser um número inteiro, arredondamos para cima:

Resposta

Para que a aproximação pela fórmula dos trapézios tenha um erro menor que , devem ser usados 41 subintervalos.

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Calcular os pesos e montar, por extenso, a expressão (1) para:
a) (Fórmula do Trapézio)
O problema de valor inicial:
tem como solução exata . Usando o método de Euler, determine com . Era de se esperar tal concordância mesmo com grande? Por quê?
Resolva o seguinte problema de valor inicial:
para e usando o método de Euler.
A lista a seguir contém notas de trabalhos de casa e de exames finais para 15 alunos de Computação Numérica. Encontre a equação da reta de mínimos quadrados para estes dados e utilize esta reta para determinar a nota de trabalhos de casa necessária para que: A nota do Trabalho seja 290.
Trabalho 302 325 285 339
Final 45 72 54 54