O problema de valor inicial:
l y^prime(t)=3 y(1)=6
tem como solução exata y(x)=3 x+3. Usando o método de Euler, determine y(7) com h=2. Era de se esperar tal concordância mesmo com h grande? Por quê?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial. A gente vai usar o método de Euler, que é uma técnica numérica para aproximar soluções de equações diferenciais. Precisamos achar o valor de usando um passo .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o método de Euler. Ele aproxima a solução da equação diferencial usando a fórmula:
yn+1 = yn + h cdot f(tn, yn)
Aqui, é o valor atual, é o tamanho do passo, e é a derivada de em relação a .

Passo 3

No nosso caso, a equação dada é . Isso significa que . Vamos começar com o valor inicial .

Passo 4

Agora, aplicamos o método de Euler para achar y(3) = y(1) + h cdot f(1, y(1)) = 6 + 2 cdot 3 = 12 nos próximos pontos com .
  • Primeiro passo: De para

Passo 5

  • Segundo passo: De y(5) = y(3) + h cdot f(3, y(3)) = 12 + 2 cdot 3 = 18 para

Passo 6

  • Terceiro passo: De y(7) = y(5) + h cdot f(5, y(5)) = 18 + 2 cdot 3 = 24 para

Resposta

Então, usando o método de Euler com , temos .
Sim, era de se esperar essa concordância mesmo com um grande. Isso acontece porque a derivada é constante, o que faz com que o método de Euler seja exato nesse caso específico, independente do tamanho do passo.

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