O problema de valor inicial:
tem como solução exata
. Usando o método de Euler, determine
com
. Era de se esperar tal concordância mesmo com
grande? Por quê?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial. A gente vai usar o método de Euler, que é uma técnica numérica para aproximar soluções de equações diferenciais. Precisamos achar o valor de
usando um passo
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o método de Euler. Ele aproxima a solução da equação diferencial usando a fórmula:
Aqui,
é o valor atual,
é o tamanho do passo, e
é a derivada de
em relação a
.
Passo 3
No nosso caso, a equação dada é
. Isso significa que
. Vamos começar com o valor inicial
.
Passo 4
Agora, aplicamos o método de Euler para achar
nos próximos pontos com
.
- Primeiro passo: De
para
Passo 5
- Segundo passo: De
para
Passo 6
- Terceiro passo: De
para
Resposta
Então, usando o método de Euler com
, temos
.
Sim, era de se esperar essa concordância mesmo com um
grande. Isso acontece porque a derivada
é constante, o que faz com que o método de Euler seja exato nesse caso específico, independente do tamanho do passo.
Exercícios relacionados
Considere as integrais:
a)
Estime por Quadratura Gaussiana com 2 e 3 pontos.
a)
Estime
Calcule as integrais a seguir usando as regras do trapézio e de Simpson repetidas, com quatro subdivisões de
. Compare os resultados:
(a)
(a)
Calcular os pesos
e montar, por extenso, a expressão (1) para:
a) (Fórmula do Trapézio)
a)
Quantos subintervalos devem ser usados no cálculo de
para que a aproximação tenha erro menor que
nos casos:
a) Fórmula dos trapézios. (Resp: )
a) Fórmula dos trapézios. (Resp: