O problema de valor inicial:
tem como solução exata . Usando o método de Euler, determine com . Era de se esperar tal concordância mesmo com grande? Por quê?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial. A gente vai usar o método de Euler, que é uma técnica numérica para aproximar soluções de equações diferenciais. Precisamos achar o valor de usando um passo .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o método de Euler. Ele aproxima a solução da equação diferencial usando a fórmula:
Aqui, é o valor atual, é o tamanho do passo, e é a derivada de em relação a .

Passo 3

No nosso caso, a equação dada é . Isso significa que . Vamos começar com o valor inicial .

Passo 4

Agora, aplicamos o método de Euler para achar nos próximos pontos com .
  • Primeiro passo: De para

Passo 5

  • Segundo passo: De para

Passo 6

  • Terceiro passo: De para

Resposta

Então, usando o método de Euler com , temos .
Sim, era de se esperar essa concordância mesmo com um grande. Isso acontece porque a derivada é constante, o que faz com que o método de Euler seja exato nesse caso específico, independente do tamanho do passo.

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Considere as integrais:
a)
Estime por Quadratura Gaussiana com 2 e 3 pontos.
Calcule as integrais a seguir usando as regras do trapézio e de Simpson repetidas, com quatro subdivisões de . Compare os resultados:
(a)
Calcular os pesos e montar, por extenso, a expressão (1) para:
a) (Fórmula do Trapézio)
Quantos subintervalos devem ser usados no cálculo de
para que a aproximação tenha erro menor que nos casos:
a) Fórmula dos trapézios. (Resp: )