Considere as integrais:
a) I=integral0^1 e^-x^2 d x
Estime I por Quadratura Gaussiana com 2 e 3 pontos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral usando Quadratura Gaussiana com 2 e 3 pontos. Isso faz parte do estudo de integração numérica, que é uma técnica para aproximar o valor de integrais quando não conseguimos calcular de forma exata. Para resolver isso, vamos precisar entender como a Quadratura Gaussiana funciona e quais são os pontos e pesos que usaremos nas duas configurações (2 e 3 pontos).

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre a Quadratura Gaussiana. Essa técnica aproxima a integral de uma função usando uma soma ponderada dos valores da função em pontos específicos dentro do intervalo de integração. Para facilitar, a Quadratura Gaussiana é geralmente definida no intervalo , então precisamos ajustar nossa integral de para esse intervalo.

Passo 3

Vamos fazer uma mudança de variável para transformar o intervalo x = 12(t + 1) em dx = 12 dt . Seja I = integral0^1 e^-x^2 , dx = 12 integral-1^1 e^-(t + 12)^2 , dt a nova variável, onde:
Quando , e quando , . O diferencial fica:
Assim, a integral original fica:

Passo 4

Agora, vamos aplicar a Quadratura Gaussiana. A fórmula geral para integral-1^1 f(t) , dt approx sumi=1^n wi f(ti) pontos é:
onde são os pesos e são os pontos de avaliação. Vamos fazer isso para e .

Passo 5

Para 2 pontos:
Os pontos e pesos padrão para 2 pontos são:
t1 = -1raiz3, t2 = 1raiz3
w1 = w2 = 1
Então, a aproximação da integral fica:
I approx 12 [ w1 e^-(t1 + 12)^2 + w2 e^-(t2 + 12)^2 ]

Passo 6

Calculando os termos:
(t1 + 12) = -1raiz3 + 12 = 1 - 1raiz32
(t2 + 12) = 1raiz3 + 12 = 1 + 1raiz32
Substituindo na expressão:
I approx 12 [ e^-(1 - 1raiz32)^2 + e^-(1 + 1raiz32)^2 ]

Passo 7

Para 3 pontos:
Os pontos e pesos padrão para 3 pontos são:
t1 = -raiz35, t2 = 0, t3 = raiz35
w1 = w3 = 59, w2 = 89
A aproximação da integral fica:
I approx 12 [ 59 e^-(t1 + 12)^2 + 89 e^-(t2 + 12)^2 + 59 e^-(t3 + 12)^2 ]

Passo 8

Calculando os termos:
(t1 + 12) = -raiz35 + 12, (t2 + 12) = 0 + 12 = 12, (t3 + 12) = raiz35 + 12
Substituindo na expressão:
I approx 12 [ 59 e^-(1 - raiz352)^2 + 89 e^-(12)^2 + 59 e^-(1 + raiz352)^2 ]

Resposta

Usando Quadratura Gaussiana, a estimativa da integral I approx 12 [ e^-(1 - 1raiz32)^2 + e^-(1 + 1raiz32)^2 ] approx 0,7468 é:
  • Com 2 pontos:
I approx 12 [ 59 e^-(1 - raiz352)^2 + 89 e^-(12)^2 + 59 e^-(1 + raiz352)^2 ] approx 0,7468
  • Com 3 pontos:
Ambas as aproximações dão um valor próximo a 0,7468 para a integral.

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