Considere as integrais:
a)
Estime por Quadratura Gaussiana com 2 e 3 pontos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral usando Quadratura Gaussiana com 2 e 3 pontos. Isso faz parte do estudo de integração numérica, que é uma técnica para aproximar o valor de integrais quando não conseguimos calcular de forma exata. Para resolver isso, vamos precisar entender como a Quadratura Gaussiana funciona e quais são os pontos e pesos que usaremos nas duas configurações (2 e 3 pontos).
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre a Quadratura Gaussiana. Essa técnica aproxima a integral de uma função usando uma soma ponderada dos valores da função em pontos específicos dentro do intervalo de integração. Para facilitar, a Quadratura Gaussiana é geralmente definida no intervalo , então precisamos ajustar nossa integral de para esse intervalo.
Passo 3
Vamos fazer uma mudança de variável para transformar o intervalo em . Seja a nova variável, onde:
Quando , e quando , . O diferencial fica:
Assim, a integral original fica:
Passo 4
Agora, vamos aplicar a Quadratura Gaussiana. A fórmula geral para pontos é:
onde são os pesos e são os pontos de avaliação. Vamos fazer isso para e .
Passo 5
Para 2 pontos:
Os pontos e pesos padrão para 2 pontos são:
Então, a aproximação da integral fica:
Passo 6
Calculando os termos:
Substituindo na expressão:
Passo 7
Para 3 pontos:
Os pontos e pesos padrão para 3 pontos são:
A aproximação da integral fica:
Passo 8
Calculando os termos:
Substituindo na expressão:
Resposta
Usando Quadratura Gaussiana, a estimativa da integral é:
Com 2 pontos:
Com 3 pontos:
Ambas as aproximações dão um valor próximo a 0,7468 para a integral.