Considere as integrais:
a)
Estime por Quadratura Gaussiana com 2 e 3 pontos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral usando Quadratura Gaussiana com 2 e 3 pontos. Isso faz parte do estudo de integração numérica, que é uma técnica para aproximar o valor de integrais quando não conseguimos calcular de forma exata. Para resolver isso, vamos precisar entender como a Quadratura Gaussiana funciona e quais são os pontos e pesos que usaremos nas duas configurações (2 e 3 pontos).

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre a Quadratura Gaussiana. Essa técnica aproxima a integral de uma função usando uma soma ponderada dos valores da função em pontos específicos dentro do intervalo de integração. Para facilitar, a Quadratura Gaussiana é geralmente definida no intervalo , então precisamos ajustar nossa integral de para esse intervalo.

Passo 3

Vamos fazer uma mudança de variável para transformar o intervalo em . Seja a nova variável, onde:
Quando , e quando , . O diferencial fica:
Assim, a integral original fica:

Passo 4

Agora, vamos aplicar a Quadratura Gaussiana. A fórmula geral para pontos é:
onde são os pesos e são os pontos de avaliação. Vamos fazer isso para e .

Passo 5

Para 2 pontos:
Os pontos e pesos padrão para 2 pontos são:
Então, a aproximação da integral fica:

Passo 6

Calculando os termos:
Substituindo na expressão:

Passo 7

Para 3 pontos:
Os pontos e pesos padrão para 3 pontos são:
A aproximação da integral fica:

Passo 8

Calculando os termos:
Substituindo na expressão:

Resposta

Usando Quadratura Gaussiana, a estimativa da integral é:
  • Com 2 pontos:
  • Com 3 pontos:
Ambas as aproximações dão um valor próximo a 0,7468 para a integral.

Exercícios relacionados

Calcule as integrais a seguir usando as regras do trapézio e de Simpson repetidas, com quatro subdivisões de . Compare os resultados:
(a)
Quantos subintervalos devem ser usados no cálculo de
para que a aproximação tenha erro menor que nos casos:
b) Fórmula de Simpson. (Resp: )
O problema de valor inicial:
tem como solução exata . Usando o método de Euler, determine com . Era de se esperar tal concordância mesmo com grande? Por quê?
Calcular os pesos e montar, por extenso, a expressão (1) para:
a) (Fórmula do Trapézio)