Resolva o seguinte problema de valor inicial:
l y^prime(t)=t y(t)-y^2(t)+1 y(0)=1
para t in[0,0.2] e h=0.05 usando o método de Euler.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse problema de valor inicial usando o Método de Euler. O enunciado nos dá uma equação diferencial:
l y^prime(t)=t y(t)-y^2(t)+1 y(0)=1
Queremos encontrar a solução para no intervalo com um passo . Para isso, vamos precisar entender o que é o Método de Euler e como aplicá-lo passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Método de Euler. É uma técnica numérica para aproximar soluções de equações diferenciais ordinárias (EDOs). A ideia é usar uma linha tangente para estimar o valor da função no próximo ponto.
A fórmula do Método de Euler é:
yn+1 = yn + h cdot f(tn, yn)
Onde:
  • é o valor atual da função.
  • é o tamanho do passo.
  • é a derivada da função no ponto atual.

Passo 3

Vamos organizar nossos dados:
  • Passo inicial ( ):
    • (valor inicial dado)
  • Passo final:
Precisamos calcular para .

Passo 4

Primeiro Passo ( y1 = y0 + h cdot f(t0, y0) ):
Calculamos f(t0, y0) = f(0, 1) = 0 cdot 1 - 1^2 + 1 = 0 - 1 + 1 = 0 :
y1 = 1 + 0.05 cdot 0 = 1
Onde .
Substituindo:
Então:

Passo 5

Segundo Passo ( y2 = y1 + h cdot f(t1, y1) ):
Agora, calculamos f(t1, y1) = f(0.05, 1) = 0.05 cdot 1 - 1^2 + 1 = 0.05 - 1 + 1 = 0.05 :
y2 = 1 + 0.05 cdot 0.05 = 1 + 0.0025 = 1.0025
Com e :
Então:

Passo 6

Terceiro Passo ( y3 = y2 + h cdot f(t2, y2) ):
Vamos calcular f(t2, y2) = f(0.10, 1.0025) = 0.10 cdot 1.0025 - (1.0025)^2 + 1 :
f(t2, y2) = 0.10025 - 1.00500625 + 1 = 0.09524375
Com y3 = 1.0025 + 0.05 cdot 0.09524375 = 1.0025 + 0.0047621875 = 1.0072621875 e :
Calculando passo a passo:
  1. Então:
Então:

Passo 7

Quarto Passo ( y4 = y3 + h cdot f(t3, y3) ):
Finalmente, calculamos f(t3, y3) = f(0.15, 1.00726219) = 0.15 cdot 1.00726219 - (1.00726219)^2 + 1 :
f(t3, y3) approx 0.1510893285 - 1.0145775 + 1 = 0.1365118285
Com y4 approx 1.00726219 + 0.05 cdot 0.1365118285 approx 1.00726219 + 0.006825591425 approx 1.014087781425 e :
Calculando passo a passo:
  1. Então:
Então:

Resposta

Após aplicar o Método de Euler com passo , a aproximação para é aproximadamente 1.0141.

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