Resolva o seguinte problema de valor inicial:
para
e
usando o método de Euler.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse problema de valor inicial usando o Método de Euler. O enunciado nos dá uma equação diferencial:
Queremos encontrar a solução para
no intervalo
com um passo
. Para isso, vamos precisar entender o que é o Método de Euler e como aplicá-lo passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Método de Euler. É uma técnica numérica para aproximar soluções de equações diferenciais ordinárias (EDOs). A ideia é usar uma linha tangente para estimar o valor da função no próximo ponto.
A fórmula do Método de Euler é:
Onde:
-
é o valor atual da função. -
é o tamanho do passo. -
é a derivada da função no ponto atual.
Passo 3
Vamos organizar nossos dados:
-
Passo inicial (
): -
-
(valor inicial dado)
-
-
Passo final:
-
Precisamos calcular
para
.
Passo 4
Primeiro Passo (
):
Calculamos
:
Onde
.
Substituindo:
Então:
Passo 5
Segundo Passo (
):
Agora, calculamos
:
Com
e
:
Então:
Passo 6
Terceiro Passo (
):
Vamos calcular
:
Com
e
:
Calculando passo a passo:
-
-
- Então:
Então:
Passo 7
Quarto Passo (
):
Finalmente, calculamos
:
Com
e
:
Calculando passo a passo:
-
-
- Então:
Então:
Resposta
Após aplicar o Método de Euler com passo
, a aproximação para
é aproximadamente 1.0141.