Calcular uma raiz real de cada equação abaixo, , usando o método das cordas, também chamado método da falsa posição.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação no intervalo usando o método das cordas, também conhecido como método da falsa posição. Esse método é uma técnica numérica para encontrar raízes de equações, ou seja, valores de que fazem . Para isso, vamos precisar entender como o método funciona e aplicar passo a passo até chegar a uma solução com a precisão desejada ( ).

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função muda de sinal no intervalo . Isso é importante porque o método das cordas requer que e tenham sinais opostos para garantir que há pelo menos uma raiz nesse intervalo.
Calculando:
  • Para :
  • Para :
Observamos que ambos e são negativos. Isso indica que não há mudança de sinal no intervalo, ou seja, pode não existir raiz aí. Porém, vamos verificar cuidadosamente.

Passo 3

Parece que houve um erro na nossa primeira verificação. Vamos recalcular:
  • Para :
Ainda negativo. Vamos tentar :
  • Para :
Agora, é positivo. Isso significa que a raiz está entre 4 e 5, já que a função passou de negativa para positiva.

Passo 4

Agora que identificamos o intervalo inicial como , vamos aplicar o método da falsa posição. A fórmula para encontrar a próxima aproximação da raiz é:
Onde:
Calculando :

Passo 5

Vamos verificar o sinal de :
Como é negativo e é positivo, o novo intervalo é .

Passo 6

Aplicamos novamente a fórmula da falsa posição com os novos pontos:
Calculando :

Passo 7

Verificamos novamente o sinal:
Agora, está muito próximo de zero e ainda negativo. O intervalo agora é .

Passo 8

Aplicamos mais uma vez a fórmula:
Calculando :

Passo 9

Verificamos o valor de :
A diferença é menor que a tolerância desejada ( ), mas para maior precisão, podemos repetir mais uma iteração.

Passo 10

Mais uma aplicação da fórmula:
Calculando :

Passo 11

Chegamos a uma aproximação com precisão satisfatória:

Resposta

A raiz aproximada da equação no intervalo é com erro menor que .

Exercícios relacionados

Dado o sistema de equações lineares:
(ii) Com o sistema reordenado so item (i), faça três iterações do método de Gauss-Seidel para o sistema obtida.
Dado o sistema de equações lineares:
(ii) Tome , faça trocas de linhas usando o método de Gauss-Seidel, com .
Isole as raízes das seguintes funções utilizando planilha eletrônica.
OBS: as respostas não precisam ser exatas, mas aproximadamente iguais.
A distribuição de temperatura em cada ponto de um pedaço de arame de está dada por:
Determine o ponto no qual a temperatura é igual a zero. Utilize o método de Newton-Raphson com precisão 0,001 e um máximo de 10 iterações.
Resposta: temos após 4 iterações. Para este problema, também pode ser adotado pois a função não atende as condições de convergência mas converge para qualquer extremo do intervalo.

Resolução:

Basta resolver a equação: