Calcular uma raiz real de cada equação abaixo, , usando o método das cordas, também chamado método da falsa posição.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação no intervalo usando o método das cordas, também conhecido como método da falsa posição. Esse método é uma técnica numérica para encontrar raízes de equações, ou seja, valores de que fazem . Para isso, vamos precisar entender como o método funciona e aplicar passo a passo até chegar a uma solução com a precisão desejada ().
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função muda de sinal no intervalo . Isso é importante porque o método das cordas requer que e tenham sinais opostos para garantir que há pelo menos uma raiz nesse intervalo.
Calculando:
Para :
Para :
Observamos que ambos e são negativos. Isso indica que não há mudança de sinal no intervalo, ou seja, pode não existir raiz aí. Porém, vamos verificar cuidadosamente.
Passo 3
Parece que houve um erro na nossa primeira verificação. Vamos recalcular:
Para :
Ainda negativo. Vamos tentar :
Para :
Agora, é positivo. Isso significa que a raiz está entre 4 e 5, já que a função passou de negativa para positiva.
Passo 4
Agora que identificamos o intervalo inicial como , vamos aplicar o método da falsa posição. A fórmula para encontrar a próxima aproximação da raiz é:
Onde:
Calculando :
Passo 5
Vamos verificar o sinal de :
Como é negativo e é positivo, o novo intervalo é .
Passo 6
Aplicamos novamente a fórmula da falsa posição com os novos pontos:
Calculando :
Passo 7
Verificamos novamente o sinal:
Agora, está muito próximo de zero e ainda negativo. O intervalo agora é .
Passo 8
Aplicamos mais uma vez a fórmula:
Calculando :
Passo 9
Verificamos o valor de :
A diferença é menor que a tolerância desejada (), mas para maior precisão, podemos repetir mais uma iteração.
Passo 10
Mais uma aplicação da fórmula:
Calculando :
Passo 11
Chegamos a uma aproximação com precisão satisfatória:
Resposta
A raiz aproximada da equação no intervalo é com erro menor que .