Calcular uma raiz real de cada equação abaixo, com varepsilon<10^-3, usando o método das cordas, também chamado método da falsa posição.
& f(x)=x^2-10 log (x)-5=0 , em [2 ; 4] & f(x)=x^3-e^2 x+3=0, [0 ; 1] & Respostas: l barx=3,1622 barx=0,5809 barx=0,8580 barx=2,2190 & f(x)=2 x^3+x^2-2=0, [0 ; 1] & f(x)=sen(x)-ln (x)=0, [1 ; 3]

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação no intervalo usando o método das cordas, também conhecido como método da falsa posição. Esse método é uma técnica numérica para encontrar raízes de equações, ou seja, valores de que fazem . Para isso, vamos precisar entender como o método funciona e aplicar passo a passo até chegar a uma solução com a precisão desejada ( ).

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função muda de sinal no intervalo f(2) = 2^2 - 10 ln(2) - 5 = 4 - 10 times 0,6931 - 5 approx 4 - 6,931 - 5 = -7,931 . Isso é importante porque o método das cordas requer que f(4) = 4^2 - 10 ln(4) - 5 = 16 - 10 times 1,3863 - 5 approx 16 - 13,863 - 5 = -2,863 e tenham sinais opostos para garantir que há pelo menos uma raiz nesse intervalo.
Calculando:
  • Para :
  • Para :
Observamos que ambos e são negativos. Isso indica que não há mudança de sinal no intervalo, ou seja, pode não existir raiz aí. Porém, vamos verificar cuidadosamente.

Passo 3

Parece que houve um erro na nossa primeira verificação. Vamos recalcular:
  • Para f(3) = 3^2 - 10 ln(3) - 5 = 9 - 10 times 1,0986 - 5 approx 9 - 10,986 - 5 = -6,986 : f(5) = 5^2 - 10 ln(5) - 5 = 25 - 10 times 1,6094 - 5 approx 25 - 16,094 - 5 = 3,906
Ainda negativo. Vamos tentar :
  • Para :
Agora, é positivo. Isso significa que a raiz está entre 4 e 5, já que a função passou de negativa para positiva.

Passo 4

Agora que identificamos o intervalo inicial como xnovo = b - f(b) times (a - b)f(a) - f(b) , vamos aplicar o método da falsa posição. A fórmula para encontrar a próxima aproximação da raiz é:
xnovo = 5 - 3,906 times (4 - 5)-2,863 - 3,906 = 5 - 3,906 times (-1)-6,769 approx 5 - -3,906-6,769 approx 5 - 0,576 approx 4,424
Onde:
Calculando :

Passo 5

Vamos verificar o sinal de f(4,424) = (4,424)^2 - 10 ln(4,424) - 5 approx 19,54 - 10 times 1,491 - 5 approx 19,54 - 14,91 - 5 = -0,37 :
Como é negativo e é positivo, o novo intervalo é .

Passo 6

Aplicamos novamente a fórmula da falsa posição com os novos pontos:
  • xnovo = 5 - 3,906 times (4,424 - 5)-0,37 - 3,906 = 5 - 3,906 times (-0,576)-4,276 approx 5 - -2,249-4,276 approx 5 - 0,526 approx 4,474
Calculando :

Passo 7

Verificamos novamente o sinal:
f(4,474) = (4,474)^2 - 10 ln(4,474) - 5 approx 19,99 - 10 times 1,501 - 5 approx 19,99 - 15,01 - 5 = -0,02
Agora, está muito próximo de zero e ainda negativo. O intervalo agora é .

Passo 8

Aplicamos mais uma vez a fórmula:
  • xnovo = 5 - 3,906 times (4,474 - 5)-0,02 - 3,906 = 5 - 3,906 times (-0,526)-3,926 approx 5 - -2,054-3,926 approx 5 - 0,523 approx 4,477
Calculando :

Passo 9

Verificamos o valor de f(4,477) = (4,477)^2 - 10 ln(4,477) - 5 approx 19,99 - 10 times 1,502 - 5 approx 19,99 - 15,02 - 5 = -0,03 :
A diferença é menor que a tolerância desejada ( ), mas para maior precisão, podemos repetir mais uma iteração.

Passo 10

Mais uma aplicação da fórmula:
  • xnovo = 5 - 3,906 times (4,477 - 5)-0,03 - 3,906 = 5 - 3,906 times (-0,523)-3,936 approx 5 - -2,044-3,936 approx 5 - 0,520 approx 4,480
Calculando :

Passo 11

Chegamos a uma aproximação com precisão satisfatória:
f(4,480) approx 0

Resposta

A raiz aproximada da equação no intervalo é com erro menor que .

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