A distribuição de temperatura em cada ponto de um pedaço de arame de está dada por:
Determine o ponto no qual a temperatura é igual a zero. Utilize o método de Newton-Raphson com precisão 0,001 e um máximo de 10 iterações.
Resposta: temos após 4 iterações. Para este problema, também pode ser adotado pois a função não atende as condições de convergência mas converge para qualquer extremo do intervalo.

Resolução:

Basta resolver a equação:

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão nos pede. Temos uma função de temperatura definida em um arame de 1,80 metros. Precisamos encontrar o ponto onde a temperatura é zero, ou seja, resolver a equação . Para isso, vamos usar o método de Newton-Raphson, que é uma técnica de aproximação para encontrar raízes de funções, com uma precisão de 0,001 e no máximo 10 iterações.

Passo 2

Primeiro, precisamos conhecer o método de Newton-Raphson. Ele ajuda a encontrar raízes de uma função usando a seguinte fórmula:
Aqui, é a função que queremos igualar a zero, e é a derivada dessa função em relação a .

Passo 3

Vamos identificar nossa função e calcular sua derivada. No nosso caso:
Calculando a derivada de :

Passo 4

Escolhemos um valor inicial para . A questão sugere dois possíveis pontos de partida dentro do intervalo [1; 2]: e . Vamos começar com .

Passo 5

Aplicamos a fórmula de Newton-Raphson para encontrar :
Calculando e :
Então,

Passo 6

Repetimos o processo para :
Calculando e (os valores são aproximados):
Então,

Passo 7

Continuamos com :
Calculando e :
Então,

Passo 8

Mais uma iteração para alcançar a precisão desejada:
Calculando e :
Então,
Como a alteração entre e é menor que 0,001, atingimos a precisão desejada.

Resposta

após 4 iterações.

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Dada a tabela abaixo,
2.4 2.6 2.8 3.0 3.2 3.4 3.6 3.8
11.02 13.46 16.44 20.08 24.53 29.96 36.59 44.70
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