A distribuição de temperatura em cada ponto
de um pedaço de arame de
está dada por:
Determine o ponto no qual a temperatura é igual a zero. Utilize o método de Newton-Raphson com precisão 0,001 e um máximo de 10 iterações.
Resposta:
temos
após 4 iterações. Para este problema,
também pode ser adotado pois a função
não atende as condições de convergência mas converge para qualquer extremo do intervalo.
Resolução:
Basta resolver a equação:
Resposta:
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão nos pede. Temos uma função de temperatura
definida em um arame de 1,80 metros. Precisamos encontrar o ponto
onde a temperatura é zero, ou seja, resolver a equação
. Para isso, vamos usar o método de Newton-Raphson, que é uma técnica de aproximação para encontrar raízes de funções, com uma precisão de 0,001 e no máximo 10 iterações.
Passo 2
Primeiro, precisamos conhecer o método de Newton-Raphson. Ele ajuda a encontrar raízes de uma função usando a seguinte fórmula:
Aqui,
é a função que queremos igualar a zero, e
é a derivada dessa função em relação a
.
Passo 3
Vamos identificar nossa função
e calcular sua derivada. No nosso caso:
Calculando a derivada de
:
Passo 4
Escolhemos um valor inicial para
. A questão sugere dois possíveis pontos de partida dentro do intervalo [1; 2]:
e
. Vamos começar com
.
Passo 5
Aplicamos a fórmula de Newton-Raphson para encontrar
:
Calculando
e
:
Então,
Passo 6
Repetimos o processo para
:
Calculando
e
(os valores são aproximados):
Então,
Passo 7
Continuamos com
:
Calculando
e
:
Então,
Passo 8
Mais uma iteração para alcançar a precisão desejada:
Calculando
e
:
Então,
Como a alteração entre
e
é menor que 0,001, atingimos a precisão desejada.
Resposta
Exercícios relacionados
Isole as raízes das seguintes funções utilizando planilha eletrônica.
OBS: as respostas não precisam ser exatas, mas aproximadamente iguais.
Calcular uma raiz real de cada equação abaixo,
, usando o método das cordas, também chamado método da falsa posição.
Use o método de Newton para determinar o polinomio que interpola os pontos
Dada a tabela abaixo,
|
2.4 | 2.6 | 2.8 | 3.0 | 3.2 | 3.4 | 3.6 | 3.8 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
11.02 | 13.46 | 16.44 | 20.08 | 24.53 | 29.96 | 36.59 | 44.70 |
Calcule
usando um polinômio de interpolação sobre quatro pontos.