A distribuição de temperatura em cada ponto x de um pedaço de arame de 1,80 m está dada por:
T(x)=-8,12 x^3+41,88 x^2-71,99 x+40,23
Determine o ponto no qual a temperatura é igual a zero. Utilize o método de Newton-Raphson com precisão 0,001 e um máximo de 10 iterações.
Resposta: x in[1 ; 2], x0=1 temos x=1,2186 após 4 iterações. Para este problema, x0=2 também pode ser adotado pois a função T(x) não atende as condições de convergência mas converge para qualquer extremo do intervalo.

Resolução:

Basta resolver a equação:
T(x)=-8,12 x^3+41,88 x^2-71,99 x+40,23=0

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão nos pede. Temos uma função de temperatura definida em um arame de 1,80 metros. Precisamos encontrar o ponto onde a temperatura é zero, ou seja, resolver a equação . Para isso, vamos usar o método de Newton-Raphson, que é uma técnica de aproximação para encontrar raízes de funções, com uma precisão de 0,001 e no máximo 10 iterações.

Passo 2

Primeiro, precisamos conhecer o método de Newton-Raphson. Ele ajuda a encontrar raízes de uma função usando a seguinte fórmula:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Aqui, é a função que queremos igualar a zero, e é a derivada dessa função em relação a .

Passo 3

Vamos identificar nossa função f(x) = T(x) = -8,12x^3 + 41,88x^2 - 71,99x + 40,23 e calcular sua derivada. No nosso caso:
f'(x) = ddx(-8,12x^3) + ddx(41,88x^2) - ddx(71,99x) + ddx(40,23)
Calculando a derivada de f'(x) = -24,36x^2 + 83,76x - 71,99 :

Passo 4

Escolhemos um valor inicial para . A questão sugere dois possíveis pontos de partida dentro do intervalo [1; 2]: e . Vamos começar com .

Passo 5

Aplicamos a fórmula de Newton-Raphson para encontrar x1 = x0 - f(x0)f'(x0) :
f(1) = -8,12(1)^3 + 41,88(1)^2 - 71,99(1) + 40,23 = -8,12 + 41,88 - 71,99 + 40,23 = 1,00
Calculando f'(1) = -24,36(1)^2 + 83,76(1) - 71,99 = -24,36 + 83,76 - 71,99 = -12,59 e x1 = 1 - 1,00-12,59 approx 1 + 0,0793 = 1,0793 :
Então,

Passo 6

Repetimos o processo para x2 = x1 - f(x1)f'(x1) :
f(1,0793) approx 0,815
Calculando f'(1,0793) approx -10,94 e x2 = 1,0793 - 0,815-10,94 approx 1,0793 + 0,0745 = 1,1538 (os valores são aproximados):
Então,

Passo 7

Continuamos com x3 = x2 - f(x2)f'(x2) :
f(1,1538) approx 0,160
Calculando f'(1,1538) approx -8,50 e x3 = 1,1538 - 0,160-8,50 approx 1,1538 + 0,0188 = 1,1726 :
Então,

Passo 8

Mais uma iteração para alcançar a precisão desejada:
x4 = x3 - f(x3)f'(x3)
Calculando f(1,1726) approx 0,005 e f'(1,1726) approx -8,02 :
x4 = 1,1726 - 0,005-8,02 approx 1,1726 + 0,0006 = 1,1732
Então,
Como a alteração entre e é menor que 0,001, atingimos a precisão desejada.

Resposta

após 4 iterações.

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