Dado o sistema de equações lineares:
c x3=1 2 x1+2 x2=0 t x1+2 x2=0
(ii) Tome t=4, faça trocas de linhas usando o método de Gauss-Seidel, com x^0=(0,1 ; 0.1 ; 0.1)^t e epsilon=0.01.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um sistema de equações lineares com três equações:
c x3=1 2 x1+2 x2=0 4 x1+2 x2=0
Aqui, substituímos t=4 conforme pedido. A matéria envolvida é Sistemas de Equações Lineares e vamos usar o Método de Gauss-Seidel, que é uma técnica iterativa para resolver sistemas de equações. Também precisamos de uma condição inicial, que neste caso é x^0=(0,1, 0.1, 0.1)^t, e uma tolerância epsilon=0.01 para determinar quando parar.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o sistema de maneira que cada variável seja isolada:
  1. Já temos x3 = 1.
  2. Da segunda equação: 2x1 + 2x2 = 0 Rightarrow x1 = -x2.
  3. Da terceira equação: 4x1 + 2x2 = 0 Rightarrow x1 = -12x2.
Notamos que há uma inconsistência aqui, mas como x3 já está resolvido, vamos focar nas primeiras duas equações.

Passo 3

Agora, aplicando o Método de Gauss-Seidel. Esse método atualiza as variáveis uma a uma usando os valores mais recentes disponíveis. Vamos organizar as equações para facilitar:
  1. x1 = -x2
  2. x2 = -x1
Começamos com a estimativa inicial x^0 = (0, 1, 0.1, 0.1)^t, mas como x3 = 1, vamos considerar x^0 = (0, 1, 1)^t.

Passo 4

Iteração 1:
  1. Calcular x1^(1) = -x2^(0) = -1
  2. Calcular x2^(1) = -x1^(1) = 1
Nova estimativa: x^(1) = (-1, 1, 1)^t

Passo 5

Iteração 2:
  1. Calcular x1^(2) = -x2^(1) = -1
  2. Calcular x2^(2) = -x1^(2) = 1
Nova estimativa: x^(2) = (-1, 1, 1)^t

Passo 6

Verificamos a convergência comparando as mudanças nas estimativas:
  • |x1^(2) - x1^(1)| = |-1 - (-1)| = 0 < 0.01
  • |x2^(2) - x2^(1)| = |1 - 1| = 0 < 0.01
As mudanças são menores que epsilon = 0.01, então paramos aqui.

Resposta

A solução encontrada pelo Método de Gauss-Seidel é:
x = -1 1 1

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