(ii) Tome t=4, faça trocas de linhas usando o método de Gauss-Seidel, com x^0=(0,1 ; 0.1 ; 0.1)^t eepsilon=0.01.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um sistema de equações lineares com três equações:
c x3=1 2 x1+2 x2=0 4 x1+2 x2=0
Aqui, substituímos t=4 conforme pedido. A matéria envolvida é Sistemas de Equações Lineares e vamos usar o Método de Gauss-Seidel, que é uma técnica iterativa para resolver sistemas de equações. Também precisamos de uma condição inicial, que neste caso é x^0=(0,1, 0.1, 0.1)^t, e uma tolerância epsilon=0.01 para determinar quando parar.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever o sistema de maneira que cada variável seja isolada:
Já temos x3 = 1.
Da segunda equação: 2x1 + 2x2 = 0Rightarrowx1 = -x2.
Da terceira equação: 4x1 + 2x2 = 0Rightarrowx1 = -12x2.
Notamos que há uma inconsistência aqui, mas como x3 já está resolvido, vamos focar nas primeiras duas equações.
Passo 3
Agora, aplicando o Método de Gauss-Seidel. Esse método atualiza as variáveis uma a uma usando os valores mais recentes disponíveis. Vamos organizar as equações para facilitar:
x1 = -x2
x2 = -x1
Começamos com a estimativa inicial x^0 = (0, 1, 0.1, 0.1)^t, mas como x3 = 1, vamos considerar x^0 = (0, 1, 1)^t.
Passo 4
Iteração 1:
Calcular x1^(1) = -x2^(0) = -1
Calcular x2^(1) = -x1^(1) = 1
Nova estimativa:x^(1) = (-1, 1, 1)^t
Passo 5
Iteração 2:
Calcular x1^(2) = -x2^(1) = -1
Calcular x2^(2) = -x1^(2) = 1
Nova estimativa:x^(2) = (-1, 1, 1)^t
Passo 6
Verificamos a convergência comparando as mudanças nas estimativas:
|x1^(2) - x1^(1)| = |-1 - (-1)| = 0 < 0.01
|x2^(2) - x2^(1)| = |1 - 1| = 0 < 0.01
As mudanças são menores que epsilon = 0.01, então paramos aqui.
Resposta
A solução encontrada pelo Método de Gauss-Seidel é: