Dado o sistema de equações lineares:
c 4 x1+x2+x3=7 4 x1-x2+3 x3=2 -x1+5 x2+3 x3=3
(ii) Com o sistema reordenado so item (i), faça três iterações do método de Gauss-Seidel para o sistema obtida.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Gauss-Seidel! Esse método é uma técnica iterativa para encontrar soluções aproximadas de sistemas lineares. A gente vai precisar reorganizar as equações para facilitar as iterações e começar com uma estimativa inicial. Vamos fazer isso passo a passo para deixar tudo claro!

Passo 2

Primeiro, precisamos reorganizar o sistema para que cada equação seja resolvida para uma das variáveis. Isso facilita as atualizações durante as iterações. Vamos rearranjar as equações para isolar x1 = 7 - x2 - x34 x2 = 4x1 + 3x3 - 21 x3 = x1 - 5x2 + 33 , x1^(0) = 0, x2^(0) = 0, x3^(0) = 0 e :
Agora, vamos adotar uma estimativa inicial para as variáveis. Sem nenhuma informação prévia, a gente assume que todas começam em zero:

Passo 3

Primeira Iteração:
Vamos calcular os novos valores de x1^(1) = 7 - x2^(0) - x3^(0)4 = 7 - 0 - 04 = 74 = 1.75 , x2^(1) = 4x1^(1) + 3x3^(0) - 21 = 4(1.75) + 3(0) - 21 = 7 - 21 = 5 e x3^(1) = x1^(1) - 5x2^(1) + 33 = 1.75 - 5(5) + 33 = 1.75 - 25 + 33 = -20.253 = -6.75 usando as fórmulas reorganizadas e os valores atuais das variáveis.
  1. Calcular x1^(1) = 1.75, x2^(1) = 5, x3^(1) = -6.75 :
  1. Calcular :
  1. Calcular :
Após a primeira iteração, temos:

Passo 4

Segunda Iteração:
Usamos os valores atualizados da primeira iteração para calcular os novos valores.
  1. Calcular x1^(2) = 7 - x2^(1) - x3^(1)4 = 7 - 5 - (-6.75)4 = 7 - 5 + 6.754 = 8.754 = 2.1875 :
x2^(2) = 4x1^(2) + 3x3^(1) - 21 = 4(2.1875) + 3(-6.75) - 21 = 8.75 - 20.25 - 21 = -13.51 = -13.5
  1. Calcular x3^(2) = x1^(2) - 5x2^(2) + 33 = 2.1875 - 5(-13.5) + 33 = 2.1875 + 67.5 + 33 = 72.68753 = 24.2292 :
x1^(2) = 2.1875, x2^(2) = -13.5, x3^(2) approx 24.2292
  1. Calcular :
Ap��s a segunda iteração, temos:

Passo 5

Terceira Iteração:
Agora, usamos os valores da segunda iteração para calcular os novos valores.
  1. Calcular x1^(3) = 7 - x2^(2) - x3^(2)4 = 7 - (-13.5) - 24.22924 = 7 + 13.5 - 24.22924 = -3.72924 approx -0.9323 :
x2^(3) = 4x1^(3) + 3x3^(2) - 21 = 4(-0.9323) + 3(24.2292) - 21 = -3.7292 + 72.6876 - 21 = 66.95841 = 66.9584
  1. Calcular x3^(3) = x1^(3) - 5x2^(3) + 33 = -0.9323 - 5(66.9584) + 33 = -0.9323 - 334.792 + 33 = -332.72433 approx -110.9081 :
x1^(3) approx -0.9323, x2^(3) approx 66.9584, x3^(3) approx -110.9081
  1. Calcular :
Após a terceira iteração, temos:

Resposta

Após três iterações do método de Gauss-Seidel, os valores aproximados das variáveis são:
x1 approx -0.9323, x2 approx 66.9584, x3 approx -110.9081

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