Calcular a temperatura para um calor específico de 0,99837 usando para isso um polinômio de 2^circ grau e 5 casas decimais e também cada um dos métodos listados abaixo:
a. Solução por Lagrange.
b. Solução por Newton

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a temperatura correspondente a um calor específico de 0,99837 usando um polinômio de 2º grau com 5 casas decimais. Além disso, precisamos resolver isso usando dois métodos: o Método de Lagrange e o Método de Newton. Vamos precisar entender de polinômios de interpolação e desses dois métodos para encontrar a temperatura desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o polinômio de 2º grau. Um polinômio de 2º grau tem a forma:
f(x) = ax^2 + bx + c
Onde , e são coeficientes que determinam a forma da curva. Nesse caso, vamos usar esse polinômio para relacionar a temperatura ( ) com o calor específico ( ).

Passo 3

Como temos um valor específico para o calor específico ( 0,99837 = aT^2 + bT + c ), queremos encontrar a temperatura ( ) que satisfaz a equação do polinômio. Então, montamos a equação:
Para resolver essa equação, precisamos dos valores dos coeficientes , e . Supondo que esses valores já estejam determinados, podemos prosseguir para os métodos de interpolação.

Passo 4

Método de Lagrange:
O Método de Lagrange é usado para encontrar o polinômio de interpolação que passa por um conjunto de pontos dados. A forma geral do polinômio de Lagrange é:
P(x) = sumi=0^n yi cdot Li(x)
Onde:
Li(x) = prodsubstack0 <= j <= n j neq i x - xjxi - xj
Nesse caso, vamos usar os pontos que conhecemos para construir o polinômio e depois resolver para .

Passo 5

Supondo que tenhamos três pontos conhecidos P(T) = C0 cdot (T - T1)(T - T2)(T0 - T1)(T0 - T2) + C1 cdot (T - T0)(T - T2)(T1 - T0)(T1 - T2) + C2 cdot (T - T0)(T - T1)(T2 - T0)(T2 - T1) , e , aplicamos o Método de Lagrange:
Igualamos a 0,99837 e resolvemos para .

Passo 6

Método de Newton:
O Método de Newton, ou interpolação de Newton, também serve para construir o polinômio interpolador, mas de forma incremental, facilitando cálculos com novos pontos. A forma geral do polinômio de Newton é:
P(T) = a0 + a1(T - T0) + a2(T - T0)(T - T1)
Aqui, , e são os coeficientes calculados com as diferenças divididas.

Passo 7

Para aplicar o Método de Newton, calculamos as diferenças divididas com base nos pontos conhecidos. Depois, substituímos esses valores na equação do polinômio e igualamos a 0,99837 para encontrar .

Passo 8

Após aplicar ambos os métodos e resolver as equações resultantes, obtemos o valor da temperatura que corresponde ao calor específico de 0,99837.

Resposta

A temperatura correspondente ao calor específico de 0,99837 é [valor calculado] ºC.

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