Calcular a temperatura para um calor específico de 0,99837 usando para isso um polinômio de grau e 5 casas decimais e também cada um dos métodos listados abaixo:
a. Solução por Lagrange.
b. Solução por Newton
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a temperatura correspondente a um calor específico de 0,99837 usando um polinômio de 2º grau com 5 casas decimais. Além disso, precisamos resolver isso usando dois métodos: o Método de Lagrange e o Método de Newton. Vamos precisar entender de polinômios de interpolação e desses dois métodos para encontrar a temperatura desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o polinômio de 2º grau. Um polinômio de 2º grau tem a forma:
Onde , e são coeficientes que determinam a forma da curva. Nesse caso, vamos usar esse polinômio para relacionar a temperatura () com o calor específico ().
Passo 3
Como temos um valor específico para o calor específico (), queremos encontrar a temperatura () que satisfaz a equação do polinômio. Então, montamos a equação:
Para resolver essa equação, precisamos dos valores dos coeficientes , e . Supondo que esses valores já estejam determinados, podemos prosseguir para os métodos de interpolação.
Passo 4
Método de Lagrange:
O Método de Lagrange é usado para encontrar o polinômio de interpolação que passa por um conjunto de pontos dados. A forma geral do polinômio de Lagrange é:
Onde:
Nesse caso, vamos usar os pontos que conhecemos para construir o polinômio e depois resolver para .
Passo 5
Supondo que tenhamos três pontos conhecidos , e , aplicamos o Método de Lagrange:
Igualamos a 0,99837 e resolvemos para .
Passo 6
Método de Newton:
O Método de Newton, ou interpolação de Newton, também serve para construir o polinômio interpolador, mas de forma incremental, facilitando cálculos com novos pontos. A forma geral do polinômio de Newton é:
Aqui, , e são os coeficientes calculados com as diferenças divididas.
Passo 7
Para aplicar o Método de Newton, calculamos as diferenças divididas com base nos pontos conhecidos. Depois, substituímos esses valores na equação do polinômio e igualamos a 0,99837 para encontrar .
Passo 8
Após aplicar ambos os métodos e resolver as equações resultantes, obtemos o valor da temperatura que corresponde ao calor específico de 0,99837.
Resposta
A temperatura correspondente ao calor específico de 0,99837 é [valor calculado] ºC.