Determine a velocidade, a aceleração e a velocidade escalar da partícula cuja função posição é dada.
r(t) & =lang<= t^2+1, t^3, t^2-1rang<= r(t) & =lang<= 2 cos t, 3 t, 2 sen trang<= r(t) & =raiz2 t i+e^t j+e^-t k

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a velocidade, a aceleração e a velocidade escalar de uma partícula cuja função posição está dada. Para isso, vamos usar cálculo vetorial, especificamente derivadas. Vamos precisar saber como derivar funções vetoriais e como calcular a magnitude de um vetor.

Passo 2

Vamos começar com a primeira função posição:
r(t) = lang<= t^2+1, t^3, t^2-1 rang<=
Velocidade ( v(t) = dr(t)dt = lang<= 2t, 3t^2, 2t rang<= ): A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja, vamos derivar cada componente de em relação a .

Passo 3

Aceleração ( a(t) = dv(t)dt = lang<= 2, 6t, 2 rang<= ): A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Vamos derivar cada componente de :

Passo 4

Velocidade Escalar ( |v(t)| = raiz(2t)^2 + (3t^2)^2 + (2t)^2 = raiz4t^2 + 9t^4 + 4t^2 = raiz9t^4 + 8t^2 = traiz9t^2 + 8 ): É a magnitude da velocidade. Calculamos isso usando a fórmula da norma do vetor:

Passo 5

Agora, vamos para a segunda função posição:
r(t) = lang<= 2 cos t, 3 t, 2 sen t rang<=
Velocidade ( v(t) = lang<= -2 sin t, 3, 2 cos t rang<= ): Derivamos cada componente:

Passo 6

Aceleração ( a(t) = lang<= -2 cos t, 0, -2 sin t rang<= ): Derivamos a velocidade:

Passo 7

Velocidade Escalar ( |v(t)| = raiz(-2 sin t)^2 + 3^2 + (2 cos t)^2 = raiz4 sin^2 t + 9 + 4 cos^2 t = raiz4 (sin^2 t + cos^2 t) + 9 = raiz4 + 9 = raiz13 ):

Passo 8

Agora, a terceira função posição:
r(t) = raiz2 t i + e^t j + e^-t k
Velocidade ( v(t) = lang<= raiz2, e^t, -e^-t rang<= ): Derivamos cada componente:

Passo 9

Aceleração ( a(t) = lang<= 0, e^t, e^-t rang<= ): Derivamos a velocidade:

Passo 10

Velocidade Escalar ( |v(t)| = raiz(raiz2)^2 + (e^t)^2 + (-e^-t)^2 = raiz2 + e^2t + e^-2t ):

Resposta

Para cada função posição, temos:
  1. Primeira função:
    • Velocidade:
    • Aceleração:
    • Velocidade Escalar:
  2. Segunda função:
    • Velocidade:
    • Aceleração:
    • Velocidade Escalar:
  3. Terceira função:
    • Velocidade:
    • Aceleração:
    • Velocidade Escalar:

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