b) Resolva o sistema, por escalonamento e pela regra de Cramer para m=-1
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema linear com as variáveis l x + y - z = 0 x - y + z = 0 2x - y + z = 0 , e usando duas técnicas: escalonamento (que é como organizar as equações para facilitar a resolução) e Regra de Cramer (que usa determinantes para achar as soluções). Vamos definir e resolver o sistema:
Passo 2
Primeiro, vamos resolver pelo método de escalonamento. A ideia aqui é manipular as equações para isolar as variáveis passo a passo.
Começamos com o sistema:
x + y - z = 0 (1) x - y + z = 0 (2) 2x - y + z = 0 (3)
Passo 3
Vamos eliminar uma variável para simplificar. Observando as equações (1) e (2), podemos subtrair a equação (2) da equação (1):
(x + y - z) - (x - y + z) = 0 - 0 2y - 2z = 0 2y = 2z y = z
Agora sabemos que x - y + z = 0 x - z + z = 0 x = 0 . Vamos usar isso na equação (2):
2x - y + z = 0 2(0) - y + z = 0 -z + z = 0 0 = 0
Agora temos e . Vamos usar esses valores na equação (3):
Isso confirma que não há mais informações e que e são livres, mas relacionadas por .
Passo 4
Agora, vamos resolver usando a Regra de Cramer. Primeiro, precisamos montar a matriz dos coeficientes A = 1 & 1 & -1 1 & -1 & 1 2 & -1 & 1 e o determinante De:
De
Calculando o determinante :
Como o determinante , isso significa que o sistema tem infinitas soluções ou nenhuma solução única.
Para encontrar as soluções, aplicamos a Regra de Cramer, mas como , precisamos verificar a consistência do sistema. Vimos pelo escalonamento que há infinitas soluções, então o sistema é dependente e indeterminado.
Resposta
O sistema possui infinitas soluções dadas por , e , onde é um número real qualquer.