b) Resolva o sistema, por escalonamento e pela regra de Cramer para
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema linear com as variáveis , e usando duas técnicas: escalonamento (que é como organizar as equações para facilitar a resolução) e Regra de Cramer (que usa determinantes para achar as soluções). Vamos definir e resolver o sistema:
Passo 2
Primeiro, vamos resolver pelo método de escalonamento. A ideia aqui é manipular as equações para isolar as variáveis passo a passo.
Começamos com o sistema:
Passo 3
Vamos eliminar uma variável para simplificar. Observando as equações (1) e (2), podemos subtrair a equação (2) da equação (1):
Agora sabemos que . Vamos usar isso na equação (2):
Agora temos e . Vamos usar esses valores na equação (3):
Isso confirma que não há mais informações e que e são livres, mas relacionadas por .
Passo 4
Agora, vamos resolver usando a Regra de Cramer. Primeiro, precisamos montar a matriz dos coeficientes e o determinante :
Calculando o determinante :
Como o determinante , isso significa que o sistema tem infinitas soluções ou nenhuma solução única.
Para encontrar as soluções, aplicamos a Regra de Cramer, mas como , precisamos verificar a consistência do sistema. Vimos pelo escalonamento que há infinitas soluções, então o sistema é dependente e indeterminado.
Resposta
O sistema possui infinitas soluções dadas por , e , onde é um número real qualquer.