Escalone, resolva e classifique os sistemas lineares:
b) ccc3 x+ & y- 11 z & =-2 x+ & 2 y+ z & =1 2 x+3 y- z & =1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares usando o método de escalonamento (ou eliminação de Gauss). O sistema que temos é:
3x + y - 11z = -2 x + 2y + z = 1 2x + 3y - z = 1
Para resolver esse sistema, vamos transformar as equações em uma matriz aumentada e realizar operações para chegar a uma forma mais simples, onde fica mais fácil encontrar os valores de , e .

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema:
3 & 1 & -11 & | & -2 1 & 2 & 1 & | & 1 2 & 3 & -1 & | & 1
Nosso objetivo é zerar os elementos abaixo do primeiro elemento da primeira coluna (o 3) para começar a escalonar a matriz.

Passo 3

Vamos zerar o elemento R2 = R2 - 13R1 (que é 1) da segunda linha. Para isso, podemos substituir a segunda linha (R2) pela combinação de R2 menos (1/3) da primeira linha (R1):
R2: 1 - 13 times 3 = 0 2 - 13 times 1 = 53 1 - 13 times (-11) = 143 1 - 13 times (-2) = 53
Calculando:
0 & 53 & 143 & | & 53
Então, a nova segunda linha fica:
3 & 1 & -11 & | & -2 0 & 53 & 143 & | & 53 2 & 3 & -1 & | & 1
A matriz atualizada é:

Passo 4

Agora, vamos zerar o elemento R3 = R3 - 23R1 (que é 2) da terceira linha. Para isso, substituímos a terceira linha (R3) por R3 menos (2/3) da primeira linha (R1):
2 - 23 times 3 = 0 3 - 23 times 1 = 73 -1 - 23 times (-11) = 193 1 - 23 times (-2) = 73
Calculando:
0 & 73 & 193 & | & 73
Então, a nova terceira linha fica:
3 & 1 & -11 & | & -2 0 & 53 & 143 & | & 53 0 & 73 & 193 & | & 73
A matriz agora é:

Passo 5

Vamos simplificar as frações multiplicando a segunda e terceira linhas por 3 para eliminar os denominadores:
R2 = 3R2 Rightarrow 0 & 5 & 14 & | & 5 R3 = 3R3 Rightarrow 0 & 7 & 19 & | & 7
A matriz fica:
3 & 1 & -11 & | & -2 0 & 5 & 14 & | & 5 0 & 7 & 19 & | & 7

Passo 6

Agora, vamos zerar o elemento R3 = R3 - 75R2 (que é 7) da terceira linha usando a segunda linha. Substituímos R3 por R3 menos 0 - 75 times 0 = 0 7 - 75 times 5 = 0 19 - 75 times 14 = 19 - 985 = 955 - 985 = -35 7 - 75 times 5 = 7 - 7 = 0 da R2:
0 & 0 & -35 & | & 0
Calculando:
3 & 1 & -11 & | & -2 0 & 5 & 14 & | & 5 0 & 0 & -35 & | & 0
Então, a nova terceira linha fica:
A matriz agora é:

Passo 7

Agora que a matriz está em forma escalonada, podemos resolver o sistema de baixo para cima (substituição regressiva).
Começamos pela terceira equação:
-35z = 0 Rightarrow z = 0

Passo 8

Substituímos 5y + 14 times 0 = 5 Rightarrow 5y = 5 Rightarrow y = 1 na segunda equação:

Passo 9

Agora, substituímos 3x + 1 times 1 - 11 times 0 = -2 3x + 1 = -2 3x = -3 x = -1 e na primeira equação:

Resposta

A solução do sistema é:
x = -1, y = 1, z = 0
O sistema é determinado e possui única solução.

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