Calcular as três primeiras iterações do método de Newton-Raphson para as raízes dos seguintes sistemas, considerando (x0, y0)=(2,2) :
cx y=1 x^2+y^2-4 x+2 y=4

Passo 1

Vamos resolver o sistema de equações usando o método de Newton-Raphson. O enunciado nos pede para calcular as três primeiras iterações deste método para encontrar as raízes do sistema:
x y = 1 x^2 + y^2 - 4 x + 2 y = 4
Conteúdo da matéria: Método de Newton-Raphson para sistemas não lineares.
O que vamos precisar:
  • Fórmulas do método de Newton-Raphson para sistemas.
  • Cálculo de derivadas parciais para formar a matriz Jacobiana.
  • Resolução de sistemas lineares para encontrar as iterações.

Passo 2

Definindo as funções:
Vamos chamar as equações do sistema de F1(x, y) = x y - 1 = 0 e F2(x, y) = x^2 + y^2 - 4 x + 2 y - 4 = 0 :
J = partial F1partial x & partial F1partial y partial F2partial x & partial F2partial y = y & x 2x - 4 & 2y + 2
xk+1 yk+1 = xk yk - J^-1 F1(xk, yk) F2(xk, yk)
Matriz Jacobiana:
A matriz Jacobiana é composta pelas derivadas parciais das funções e em relação a e :
Fórmula de atualização:
A cada iteração, atualizamos os valores de e usando:

[

  • J^{-1}
    ]

Passo 3

Iteração 1 (k=0):
Ponto inicial: F1(2, 2) = 2 times 2 - 1 = 4 - 1 = 3
Calculando F2(2, 2) = 2^2 + 2^2 - 4 times 2 + 2 times 2 - 4 = 4 + 4 - 8 + 4 - 4 = 0 no ponto inicial:
J = 2 & 2 2 times 2 - 4 & 2 times 2 + 2 = 2 & 2 0 & 6
2 & 2 0 & 6 De
Calculando a Jacobiana no ponto inicial:
x1 = 2 + (-32) = 12
Resolvendo y1 = 2 + 0 = 2 :

[


]
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação: =>
Da primeira equação: =>
Atualizando os valores:

Passo 4

Iteração 2 (k=1):
Ponto atual: F1(12, 2) = 12 times 2 - 1 = 1 - 1 = 0
Calculando F2(12, 2) = (12)^2 + 2^2 - 4 times 12 + 2 times 2 - 4 = 14 + 4 - 2 + 4 - 4 = 14 + 2 = 94 no ponto atual:
J = 2 & 12 2 times 12 - 4 & 2 times 2 + 2 = 2 & 12 -3 & 6
2 & 12 -3 & 6 De
Calculando a Jacobiana no ponto atual:
-3 De
Resolvendo -3 De:

[
-27 De
De

De
]
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação: x2 = 12 + 112 = 712 => y2 = 2 - 13 = 53 =>
Substituindo na segunda equação:
Atualizando os valores:

Passo 5

Iteração 3 (k=2):
Ponto atual: F1(712, 53) = 712 times 53 - 1 = 3536 - 1 = -136
Calculando F2(712, 53) = (712)^2 + (53)^2 - 4 times 712 + 2 times 53 - 4 no ponto atual:
= 49144 + 259 - 2812 + 103 - 4
= 49144 + 400144 - 336144 + 480144 - 576144
= 49 + 400 - 336 + 480 - 576144 = -3144 = -148
J = 53 & 712 2 times 712 - 4 & 2 times 53 + 2 = 53 & 712 1412 - 4 & 103 + 2 = 53 & 712 -3412 & 163 = 53 & 712 -176 & 163
53 & 712 -176 & 163 De
Calculando a Jacobiana no ponto atual:
20 De
Resolvendo -17 De:

[
De
De

x3 = 712 + 0.038 approx 0.625 + 0.038 = 0.663
]
Resolvendo o sistema:
Multiplicando a primeira equação por 12 para eliminar frações:
y3 = 53 - 0.063 approx 1.666 - 0.063 = 1.603
Multiplicando a segunda equação por 6:
Resolvendo pelo método de substituição ou eliminação, encontramos:
Após os cálculos, obtemos:
Atualizando os valores:

Resposta

Após três iterações do método de Newton-Raphson, a aproximação para as raízes do sistema é aproximadamente .

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