Calcular as três primeiras iterações do método de Newton-Raphson para as raízes dos seguintes sistemas, considerando :

Passo 1

Vamos resolver o sistema de equações usando o método de Newton-Raphson. O enunciado nos pede para calcular as três primeiras iterações deste método para encontrar as raízes do sistema:
Conteúdo da matéria: Método de Newton-Raphson para sistemas não lineares.
O que vamos precisar:
  • Fórmulas do método de Newton-Raphson para sistemas.
  • Cálculo de derivadas parciais para formar a matriz Jacobiana.
  • Resolução de sistemas lineares para encontrar as iterações.

Passo 2

Definindo as funções:
Vamos chamar as equações do sistema de e :
Matriz Jacobiana:
A matriz Jacobiana é composta pelas derivadas parciais das funções e em relação a e :
Fórmula de atualização:
A cada iteração, atualizamos os valores de e usando:

[

  • J^{-1}
    ]

Passo 3

Iteração 1 (k=0):
Ponto inicial:
Calculando no ponto inicial:
Calculando a Jacobiana no ponto inicial:
Resolvendo :

[


]
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação: =>
Da primeira equação: =>
Atualizando os valores:

Passo 4

Iteração 2 (k=1):
Ponto atual:
Calculando no ponto atual:
Calculando a Jacobiana no ponto atual:
Resolvendo :

[


]
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação: => =>
Substituindo na segunda equação:
Atualizando os valores:

Passo 5

Iteração 3 (k=2):
Ponto atual:
Calculando no ponto atual:
Calculando a Jacobiana no ponto atual:
Resolvendo :

[


]
Resolvendo o sistema:
Multiplicando a primeira equação por 12 para eliminar frações:
Multiplicando a segunda equação por 6:
Resolvendo pelo método de substituição ou eliminação, encontramos:
Após os cálculos, obtemos:
Atualizando os valores:

Resposta

Após três iterações do método de Newton-Raphson, a aproximação para as raízes do sistema é aproximadamente .

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Aplique o método de Newton-Raphson com e precisão em cada caso e compare os resultados obtidos.
Calcular as três primeiras iterações do método de Newton-Raphson para as raízes dos seguintes sistemas, considerando :
Calcular as três primeiras iterações do método de Newton-Raphson para as raízes dos seguintes sistemas, considerando :