Calcular as três primeiras iterações do método de Newton-Raphson para as raízes dos seguintes sistemas, considerando
:
Passo 1
Vamos resolver o sistema de equações usando o método de Newton-Raphson. O enunciado nos pede para calcular as três primeiras iterações deste método para encontrar as raízes do sistema:
Conteúdo da matéria: Método de Newton-Raphson para sistemas não lineares.
O que vamos precisar:
- Fórmulas do método de Newton-Raphson para sistemas.
- Cálculo de derivadas parciais para formar a matriz Jacobiana.
- Resolução de sistemas lineares para encontrar as iterações.
Passo 2
Definindo as funções:
Vamos chamar as equações do sistema de
e
:
Matriz Jacobiana:
A matriz Jacobiana
é composta pelas derivadas parciais das funções
e
em relação a
e
:
Fórmula de atualização:
A cada iteração, atualizamos os valores de
e
usando:
[
- J^{-1}
]
Passo 3
Iteração 1 (k=0):
Ponto inicial:
Calculando
no ponto inicial:
Calculando a Jacobiana no ponto inicial:
Resolvendo
:
[
]
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação:
=>
Da primeira equação:
=>
Atualizando os valores:
Passo 4
Iteração 2 (k=1):
Ponto atual:
Calculando
no ponto atual:
Calculando a Jacobiana no ponto atual:
Resolvendo
:
[
]
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
=>
=>
Substituindo na segunda equação:
Atualizando os valores:
Passo 5
Iteração 3 (k=2):
Ponto atual:
Calculando
no ponto atual:
Calculando a Jacobiana no ponto atual:
Resolvendo
:
[
]
Resolvendo o sistema:
Multiplicando a primeira equação por 12 para eliminar frações:
Multiplicando a segunda equação por 6:
Resolvendo pelo método de substituição ou eliminação, encontramos:
Após os cálculos, obtemos:
Atualizando os valores:
Resposta
Após três iterações do método de Newton-Raphson, a aproximação para as raízes do sistema é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Usando o método da aceleração de Aitken determine a raiz da equação
próxima de 0.56 com precisão
.
O valor de
pode ser obtido através da resolução das seguintes equações:
Aplique o método de Newton-Raphson com e precisão
em cada caso e compare os resultados obtidos.
Aplique o método de Newton-Raphson com
Calcular as três primeiras iterações do método de Newton-Raphson para as raízes dos seguintes sistemas, considerando
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