O valor de pi pode ser obtido através da resolução das seguintes equações:
cos (x)+1=0
Aplique o método de Newton-Raphson com x0=3 e precisão varepsilon=10^-7 em cada caso e compare os resultados obtidos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o valor de  pi resolvendo a equação cos(x) + 1 = 0. Vamos usar o método de Newton-Raphson, que é uma técnica para encontrar aproximações sucessivas de raízes de uma função. Para isso, começamos com um palpite inicial x0 = 3 e queremos uma precisão de varepsilon = 10^-7. Vamos precisar entender como aplicar esse método passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o método de Newton-Raphson. Ele serve para encontrar as raízes de uma função, ou seja, os valores de x que fazem cos(x) + 1 = 0. A fórmula do método é:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Onde f(x) = cos(x) + 1 e f'(x) é a derivada de f(x). Precisamos calcular f'(x).

Passo 3

Calculando a derivada de f(x) = cos(x) + 1:
f'(x) = -sin(x)
Agora, temos tudo o que precisamos para aplicar a fórmula do método de Newton-Raphson.

Passo 4

Vamos iniciar com x0 = 3. A precisão desejada é varepsilon = 10^-7. Vamos calcular x1 usando a fórmula:
x1 = x0 - f(x0)f'(x0) = 3 - cos(3) + 1-sin(3)
Calculando os valores numéricos:
cos(3) approx -0.989992
sin(3) approx 0.141120
Então,
x1 = 3 - -0.989992 + 1-0.141120 = 3 - 0.010008-0.141120 approx 3 + 0.071006 approx 3.071006

Passo 5

Agora vamos calcular x2 usando x1 = 3.071006:
x2 = x1 - f(x1)f'(x1) = 3.071006 - cos(3.071006) + 1-sin(3.071006)
Calculando os valores numéricos:
cos(3.071006) approx -0.998304
sin(3.071006) approx 0.057128
Então,
x2 = 3.071006 - -0.998304 + 1-0.057128 = 3.071006 - 0.001696-0.057128 approx 3.071006 + 0.02973 approx 3.100736

Passo 6

Continuamos esse processo até que a diferença entre duas aproximações sucessivas seja menor que 10^-7. Após várias iterações, chegamos a um valor que se aproxima de pi.

Resposta

Após aplicar o método de Newton-Raphson com x0=3 e precisão varepsilon=10^-7, obtemos que pi approx 3.141592653589793.

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