O valor de pode ser obtido através da resolução das seguintes equações:

Aplique o método de Newton-Raphson com e precisão em cada caso e compare os resultados obtidos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o valor de  resolvendo a equação . Vamos usar o método de Newton-Raphson, que é uma técnica para encontrar aproximações sucessivas de raízes de uma função. Para isso, começamos com um palpite inicial e queremos uma precisão de . Vamos precisar entender como aplicar esse método passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o método de Newton-Raphson. Ele serve para encontrar as raízes de uma função, ou seja, os valores de que fazem . A fórmula do método é:
Onde e é a derivada de . Precisamos calcular .

Passo 3

Calculando a derivada de :
Agora, temos tudo o que precisamos para aplicar a fórmula do método de Newton-Raphson.

Passo 4

Vamos iniciar com . A precisão desejada é . Vamos calcular usando a fórmula:
Calculando os valores numéricos:
Então,

Passo 5

Agora vamos calcular usando :
Calculando os valores numéricos:
Então,

Passo 6

Continuamos esse processo até que a diferença entre duas aproximações sucessivas seja menor que . Após várias iterações, chegamos a um valor que se aproxima de .

Resposta

Após aplicar o método de Newton-Raphson com e precisão , obtemos que .

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Enumere, localize e separe as raízes reais das equações abaixo. Em seguida utilize o método do ponto fixo para encontrar, caso exista, uma raiz real negativa e o método de Newton-Raphson para encontrar, caso exista, uma raiz real positiva destas equações. Nos métodos iterativos, trabalhe com arredondamento para 3 casas decimais e utilize o critério de parada , onde corresponde à -ésima aproximação para o valor da raiz.
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