O valor de
pode ser obtido através da resolução das seguintes equações:
Aplique o método de Newton-Raphson com
e precisão
em cada caso e compare os resultados obtidos.
Aplique o método de Newton-Raphson com
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o valor de
resolvendo a equação
. Vamos usar o método de Newton-Raphson, que é uma técnica para encontrar aproximações sucessivas de raízes de uma função. Para isso, começamos com um palpite inicial
e queremos uma precisão de
. Vamos precisar entender como aplicar esse método passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o método de Newton-Raphson. Ele serve para encontrar as raízes de uma função, ou seja, os valores de
que fazem
. A fórmula do método é:
Onde
e
é a derivada de
. Precisamos calcular
.
Passo 3
Calculando a derivada de
:
Agora, temos tudo o que precisamos para aplicar a fórmula do método de Newton-Raphson.
Passo 4
Vamos iniciar com
. A precisão desejada é
. Vamos calcular
usando a fórmula:
Calculando os valores numéricos:
Então,
Passo 5
Agora vamos calcular
usando
:
Calculando os valores numéricos:
Então,
Passo 6
Continuamos esse processo até que a diferença entre duas aproximações sucessivas seja menor que
. Após várias iterações, chegamos a um valor que se aproxima de
.
Resposta
Após aplicar o método de Newton-Raphson com
e precisão
, obtemos que
.
Exercícios relacionados
Enumere, localize e separe as raízes reais das equações abaixo. Em seguida utilize o método do ponto fixo para encontrar, caso exista, uma raiz real negativa e o método de Newton-Raphson para encontrar, caso exista, uma raiz real positiva destas equações. Nos métodos iterativos, trabalhe com arredondamento para 3 casas decimais e utilize o critério de parada
, onde
corresponde à
-ésima aproximação para o valor da raiz.
Enumere, localize e separe as raízes reais das equações abaixo. Em seguida utilize o método do ponto fixo para encontrar, caso exista, uma raiz real negativa e o método de Newton-Raphson para encontrar, caso exista, uma raiz real positiva destas equações. Nos métodos iterativos, trabalhe com arredondamento para 3 casas decimais e utilize o critério de parada
, onde
corresponde à
-ésima aproximação para o valor da raiz.
Usando o método da aceleração de Aitken determine a raiz da equação
próxima de 0.56 com precisão
.
Calcular as três primeiras iterações do método de Newton-Raphson para as raízes dos seguintes sistemas, considerando
: