Usando o método da aceleração de Aitken determine a raiz da equação e^-x-x=0 próxima de 0.56 com precisão varepsilon=10^-5.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação e^-x - x = 0 usando o método da aceleração de Aitken. Esse método faz parte da matemática numérica e é usado para encontrar raízes de equações de forma mais rápida e precisa. Para isso, vamos precisar de uma aproximação inicial próxima de 0,56 e uma precisão de 10^-5. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, precisamos reescrever a equação de forma que possamos fazer uma iteração. Vamos isolar x:
e^-x = x
Então, podemos definir uma função para iteração:
xn+1 = e^-xn
Isso significa que, para cada passo, calculamos o próximo valor de x usando o valor anterior.

Passo 3

Vamos começar com uma aproximação inicial próxima de 0,56. Vamos escolher x0 = 0,56. Agora, aplicamos a função para encontrar x1:
x1 = e^-0,56 approx 0,571209

Passo 4

Aplicamos novamente a função para encontrar x2:
x2 = e^-0,571209 approx 0,564310

Passo 5

Continuamos o processo para encontrar x3:
x3 = e^-0,564310 approx 0,569834

Passo 6

Agora, aplicamos o método da aceleração de Aitken. A fórmula de Aitken é:
xAitken = xn - (xn+1 - xn)^2xn+2 - 2xn+1 + xn
Vamos usar os valores que calculamos:
xAitken = 0,56 - (0,571209 - 0,56)^20,569834 - 2 times 0,571209 + 0,56
Calculando o numerador:
(0,571209 - 0,56)^2 = (0,011209)^2 approx 0,0001251
E o denominador:
0,569834 - 2 times 0,571209 + 0,56 = 0,569834 - 1,142418 + 0,56 approx -0,012584
Então:
xAitken = 0,56 - 0,0001251-0,012584 approx 0,56 + 0,009933 approx 0,569933

Passo 7

Verificamos se a diferença entre a nova aproximação e a anterior é menor que a precisão desejada ( 10^-5). Calculamos:
|0,569933 - 0,56| = 0,009933 > 0,00001
Como não atingimos a precisão, repetimos o processo com os novos valores.

Passo 8

Continuamos iterando até que a diferença seja menor que 10^-5. Após algumas iterações, chegamos a um valor que atende à precisão requerida.

Resposta

A raiz da equação e^-x - x = 0 próxima de 0,56 com precisão varepsilon=10^-5 é aproximadamente x approx 0,56714.

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