Usando o método da aceleração de Aitken determine a raiz da equação
próxima de 0.56 com precisão
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação
usando o método da aceleração de Aitken. Esse método faz parte da matemática numérica e é usado para encontrar raízes de equações de forma mais rápida e precisa. Para isso, vamos precisar de uma aproximação inicial próxima de 0,56 e uma precisão de
. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, precisamos reescrever a equação de forma que possamos fazer uma iteração. Vamos isolar
:
Então, podemos definir uma função para iteração:
Isso significa que, para cada passo, calculamos o próximo valor de
usando o valor anterior.
Passo 3
Vamos começar com uma aproximação inicial próxima de 0,56. Vamos escolher
. Agora, aplicamos a função para encontrar
:
Passo 4
Aplicamos novamente a função para encontrar
:
Passo 5
Continuamos o processo para encontrar
:
Passo 6
Agora, aplicamos o método da aceleração de Aitken. A fórmula de Aitken é:
Vamos usar os valores que calculamos:
Calculando o numerador:
E o denominador:
Então:
Passo 7
Verificamos se a diferença entre a nova aproximação e a anterior é menor que a precisão desejada (
). Calculamos:
Como não atingimos a precisão, repetimos o processo com os novos valores.
Passo 8
Continuamos iterando até que a diferença seja menor que
. Após algumas iterações, chegamos a um valor que atende à precisão requerida.
Resposta
A raiz da equação
próxima de 0,56 com precisão
é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
O valor de
pode ser obtido através da resolução das seguintes equações:
Aplique o método de Newton-Raphson com e precisão
em cada caso e compare os resultados obtidos.
Aplique o método de Newton-Raphson com
Enumere, localize e separe as raízes reais das equações abaixo. Em seguida utilize o método do ponto fixo para encontrar, caso exista, uma raiz real negativa e o método de Newton-Raphson para encontrar, caso exista, uma raiz real positiva destas equações. Nos métodos iterativos, trabalhe com arredondamento para 3 casas decimais e utilize o critério de parada
, onde
corresponde à
-ésima aproximação para o valor da raiz.
Calcular as três primeiras iterações do método de Newton-Raphson para as raízes dos seguintes sistemas, considerando
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Calcular as três primeiras iterações do método de Newton-Raphson para as raízes dos seguintes sistemas, considerando
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