Usando o método da aceleração de Aitken determine a raiz da equação próxima de 0.56 com precisão .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação usando o método da aceleração de Aitken. Esse método faz parte da matemática numérica e é usado para encontrar raízes de equações de forma mais rápida e precisa. Para isso, vamos precisar de uma aproximação inicial próxima de 0,56 e uma precisão de . Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, precisamos reescrever a equação de forma que possamos fazer uma iteração. Vamos isolar :
Então, podemos definir uma função para iteração:
Isso significa que, para cada passo, calculamos o próximo valor de usando o valor anterior.

Passo 3

Vamos começar com uma aproximação inicial próxima de 0,56. Vamos escolher . Agora, aplicamos a função para encontrar :

Passo 4

Aplicamos novamente a função para encontrar :

Passo 5

Continuamos o processo para encontrar :

Passo 6

Agora, aplicamos o método da aceleração de Aitken. A fórmula de Aitken é:
Vamos usar os valores que calculamos:
Calculando o numerador:
E o denominador:
Então:

Passo 7

Verificamos se a diferença entre a nova aproximação e a anterior é menor que a precisão desejada ( ). Calculamos:
Como não atingimos a precisão, repetimos o processo com os novos valores.

Passo 8

Continuamos iterando até que a diferença seja menor que . Após algumas iterações, chegamos a um valor que atende à precisão requerida.

Resposta

A raiz da equação próxima de 0,56 com precisão é aproximadamente .

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O valor de pode ser obtido através da resolução das seguintes equações:

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Enumere, localize e separe as raízes reais das equações abaixo. Em seguida utilize o método do ponto fixo para encontrar, caso exista, uma raiz real negativa e o método de Newton-Raphson para encontrar, caso exista, uma raiz real positiva destas equações. Nos métodos iterativos, trabalhe com arredondamento para 3 casas decimais e utilize o critério de parada , onde corresponde à -ésima aproximação para o valor da raiz.
Calcular as três primeiras iterações do método de Newton-Raphson para as raízes dos seguintes sistemas, considerando :
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