Calcular o valor aproximado de integral0^1 3 e^-x d x, usando:
Regra 1 / 3 de Simpson generalizada, com h=1 / 6;

Passo 1

Beleza, vamos calcular o valor aproximado da integral usando a Regra 1/3 de Simpson generalizada com um passo . A Regra de Simpson é uma técnica de aproximação para integrais que utiliza parábolas para estimar a área sob a curva. Vamos precisar dividir o intervalo de integração em partes iguais, calcular os valores da função nos pontos subdivididos e aplicar os coeficientes certos para chegar à aproximação.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar os pontos onde vamos calcular a função. Com x0 = 0, x1 = 16, x2 = 26 = 13, x3 = 36 = 12, x4 = 46 = 23, x5 = 56, x6 = 1 e o intervalo de 0 a 1, temos:

Passo 3

Agora, vamos calcular os valores da função f(x0) = 3 e^0 = 3 f(x1) = 3 e^-16 f(x2) = 3 e^-13 f(x3) = 3 e^-12 f(x4) = 3 e^-23 f(x5) = 3 e^-56 f(x6) = 3 e^-1 em cada um desses pontos:

Passo 4

A Regra 1/3 de Simpson generalizada para integrala^b f(x) , dx approx h3 [ f(x0) + 4f(x1) + 2f(x2) + 4f(x3) + 2f(x4) + 4f(x5) + f(x6) ] (que é par) é dada por:
integral0^1 3 e^-x , dx approx 1/63 [ f(x0) + 4f(x1) + 2f(x2) + 4f(x3) + 2f(x4) + 4f(x5) + f(x6) ]
Substituindo = 118 [ 3 + 4f(16) + 2f(13) + 4f(12) + 2f(23) + 4f(56) + 3 e^-1 ] :

Passo 5

Agora, vamos calcular cada termo:
f(16) = 3 e^-16 approx 3 times 0.8465 = 2.5395 f(13) = 3 e^-13 approx 3 times 0.7165 = 2.1495 f(12) = 3 e^-12 approx 3 times 0.6065 = 1.8195 f(23) = 3 e^-23 approx 3 times 0.5134 = 1.5402 f(56) = 3 e^-56 approx 3 times 0.4346 = 1.3038 f(1) = 3 e^-1 approx 3 times 0.3679 = 1.1037

Passo 6

Substituindo esses valores na fórmula:
integral0^1 3 e^-x , dx approx 118 [ 3 + 4(2.5395) + 2(2.1495) + 4(1.8195) + 2(1.5402) + 4(1.3038) + 1.1037 ]
Calculando dentro dos colchetes:
3 + 10.158 + 4.299 + 7.278 + 3.0804 + 5.2152 + 1.1037 approx 34.1333

Resposta

integral0^1 3 e^-x , dx approx 34.133318 approx 1.8963

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