Calcule o valor aproximado da integral1.6^5.6(ln (x+8)-2 x) d x usando a Regra 1 / 3 de Simpson generalizada com 6 subintervalos.

Passo 1

Então, a gente precisa calcular a integral usando a Regra de Simpson com 6 subintervalos. Vamos precisar entender o que é a Regra de Simpson, dividir o intervalo em partes iguais e aplicar a fórmula para chegar ao valor aproximado dessa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os limites de integração: e . O número de subintervalos é , que é par, perfeito para aplicar a Regra de Simpson.

Passo 3

Agora, calculamos o tamanho de cada subintervalo, chamado de h = b - an = 5.6 - 1.66 = 46 = 0.6667 . A fórmula é:
Então, .

Passo 4

Vamos determinar os pontos x0 = 1.6 onde vamos avaliar a função. Começando de x1 = 1.6 + 0.6667 = 2.2667 e adicionando x2 = 2.2667 + 0.6667 = 2.9334 sucessivamente:
x3 = 2.9334 + 0.6667 = 3.6001
x4 = 3.6001 + 0.6667 = 4.2668
x5 = 4.2668 + 0.6667 = 4.9335
x6 = 4.9335 + 0.6667 = 5.6002 approx 5.6

Passo 5

Vamos calcular os valores da função f(x0) = ln(1.6+8) - 2(1.6) = ln(9.6) - 3.2 approx 2.2603 - 3.2 = -0.9397 em cada f(x1) = ln(2.2667+8) - 2(2.2667) = ln(10.2667) - 4.5334 approx 2.3273 - 4.5334 = -2.2061 :
f(x2) = ln(2.9334+8) - 2(2.9334) = ln(10.9334) - 5.8668 approx 2.3919 - 5.8668 = -3.4749
f(x3) = ln(3.6001+8) - 2(3.6001) = ln(11.6001) - 7.2002 approx 2.4540 - 7.2002 = -4.7462
f(x4) = ln(4.2668+8) - 2(4.2668) = ln(12.2668) - 8.5336 approx 2.5091 - 8.5336 = -6.0245
f(x5) = ln(4.9335+8) - 2(4.9335) = ln(12.9335) - 9.867 approx 2.5600 - 9.867 = -7.3070
f(x6) = ln(5.6+8) - 2(5.6) = ln(13.6) - 11.2 approx 2.6140 - 11.2 = -8.5860

Passo 6

Agora, aplicamos a Regra integrala^b f(x) , dx approx h3 [ f(x0) + 4 sumímpares f(xi) + 2 sumpares f(xi) + f(xn) ] de Simpson:
f(x0) = -0.9397 í
Identificando:
f(x6) = -8.5860
sumímpares f(xi) = f(x1) + f(x3) + f(x5) = -2.2061 + (-4.7462) + (-7.3070) = -14.2593
sumpares f(xi) = f(x2) + f(x4) = -3.4749 + (-6.0245) = -9.4994 í
integral approx 0.66673 [ -0.9397 + 4(-14.2593) + 2(-9.4994) + (-8.5860) ]
Substituindo na fórmula:
= 0.2222 [ -0.9397 -57.0372 -18.9988 -8.5860 ]
= 0.2222 [ -85.5617 ] approx -19.0126

Resposta

O valor aproximado da integral usando a Regra de Simpson com 6 subintervalos é aproximadamente .

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