Calcular o valor aproximado de integral0^1 3 e^-x d x, usando:
Regra dos trapézios generalizada, com h=1 / 5;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral definida, especificamente , usando a Regra dos Trapézios Generalizada com . Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, focando em métodos numéricos para aproximar integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a Regra dos Trapézios Generalizada. Essa regra é uma técnica para aproximar o valor de uma integral definida dividindo o intervalo de integração em partes menores (chamadas de subintervalos) e aproximando a área sob a curva por trapézios. A fórmula geral é:
integrala^b f(x) , dx approx h2 [ f(a) + 2 sumi=1^n-1 f(a + ih) + f(b) ]
onde:
  • é o tamanho de cada subintervalo,
  • é o número de subintervalos,
  • e são os limites de integração.

Passo 3

No nosso caso, temos n = b - ah = 1 - 00,2 = 5 , e . Vamos calcular o número de subintervalos :
Então, teremos 5 subintervalos.

Passo 4

Agora, vamos identificar os pontos onde vamos avaliar a função x0 = 0, x1 = 0,2, x2 = 0,4, x3 = 0,6, x4 = 0,8, x5 = 1 . Esses pontos são:

Passo 5

Vamos calcular o valor da função f(x0) = f(0) = 3 e^0 = 3 f(x1) = f(0,2) = 3 e^-0,2 approx 3 times 0,8187 approx 2,4561 f(x2) = f(0,4) = 3 e^-0,4 approx 3 times 0,6703 approx 2,0109 f(x3) = f(0,6) = 3 e^-0,6 approx 3 times 0,5488 approx 1,6464 f(x4) = f(0,8) = 3 e^-0,8 approx 3 times 0,4493 approx 1,3479 f(x5) = f(1) = 3 e^-1 approx 3 times 0,3679 approx 1,1037 em cada um desses pontos:

Passo 6

Agora, aplicamos a fórmula da Regra dos Trapézios Generalizada:
integral0^1 3 e^-x , dx approx h2 [ f(x0) + 2(f(x1) + f(x2) + f(x3) + f(x4)) + f(x5) ]
Substituindo os valores:
approx 0,22 [ 3 + 2(2,4561 + 2,0109 + 1,6464 + 1,3479) + 1,1037 ]

Passo 7

Vamos calcular dentro dos colchetes primeiro:
2,4561 + 2,0109 + 1,6464 + 1,3479 = 7,4603
Multiplicando por 2:
2 times 7,4603 = 14,9206
Somando com 3 + 14,9206 + 1,1037 = 19,0243 e :

Passo 8

Agora, multiplicamos pelo 0,22 times 19,0243 = 0,1 times 19,0243 = 1,90243 :

Resposta

O valor aproximado da integral usando a Regra dos Trapézios Generalizada com é aproximadamente 1,90243.

Exercícios relacionados