Calcular um valor aproximado para ln (1,03040002) e para raiz[3]8,00005, usando diferencial.

Passo 1

Vamos calcular um valor aproximado para ln(1,03040002) e para raiz[3]8,00005 usando diferenciais. Para isso, vamos utilizar a ideia de aproximação linear através das derivadas das funções envolvidas, facilitando os cálculos mesmo sem estudar profundamente a teoria.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular ln(1,03040002). Vamos escolher um ponto próximo onde sabemos o valor exato da função. Aqui, escolhemos a = 1, já que ln(1) = 0 é fácil de lembrar.
A ideia é usar a aproximação:
ln(a + De
onde De é a pequena variação a partir de a.
Aqui, a = 1 e De.
Então:
ln(1,03040002) approx ln(1) + 11 times 0,03040002 = 0 + 0,03040002 = 0,03040002

Passo 3

Agora, vamos calcular raiz[3]8,00005. Escolhemos a = 8, já que raiz[3]8 = 2 é conhecido.
Usamos a aproximação:
raiz[3]a + De
onde De.
Primeiro, calculamos a derivada:
f(a) = raiz[3]a f'(a) = 13 a^-2/3
Para a = 8:
f'(8) = 13 times 8^-2/3 = 13 times 14 = 112
Então:
raiz[3]8,00005 approx 2 + 112 times 0,00005 = 2 + 0,0000041667 = 2,0000041667

Resposta

ln(1,03040002) approx 0,03040002 e raiz[3]8,00005 approx 2,0000041667.

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