Usando a derivação implícita, obtenha a derivada das funções y=f(x) a seguir:
c) e^y+ln y+y^y=x^2+1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada de e^y + ln y + y^y = x^2 + 1 em relação a para a função implícita dada:
Para isso, vamos usar derivação implícita, que é quando a função está misturada com e não está isolada. Vamos precisar lembrar de como derivar funções exponenciais, logarítmicas e potências envolvendo .

Passo 2

Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a ddx(e^y) + ddx(ln y) + ddx(y^y) . Lembre-se que ddx(x^2 + 1) é uma função de , então sempre que tivermos , vamos usar a regra da cadeia e multiplicar pela .
Derivando o lado esquerdo:
Derivando o lado direito:

Passo 3

Vamos derivar cada termo separadamente.
  1. Derivada de ddx(e^y) = e^y cdot dydx :
    ddx(ln y) = 1y cdot dydx
    Aqui usamos a regra da cadeia: a derivada de y^y = e^y ln y é ddx(e^y ln y) = e^y ln y cdot ddx(y ln y) .
  2. Derivada de ddx(y ln y) = dydx cdot ln y + y cdot 1y cdot dydx = dydx (ln y + 1) :
    ddx(y^y) = y^y cdot (ln y + 1) cdot dydx
    A derivada de ddx(x^2 + 1) = 2x é .
  3. Derivada de :
    Esse é um pouco mais complicado. Podemos reescrever usando logaritmos para facilitar:
    Agora, derivando:
    Derivando :
    Portanto:
  4. Derivada de :
    A derivada de é e a derivada de uma constante é zero.

Passo 4

Agora, colocando tudo junto na equação derivada:
e^y cdot dydx + 1y cdot dydx + y^y (ln y + 1) cdot dydx = 2x
Vamos fatorar (e^y + 1y + y^y (ln y + 1)) cdot dydx = 2x para facilitar:

Passo 5

Agora, queremos isolar dydx = 2xe^y + 1y + y^y (ln y + 1) . Para isso, dividimos ambos os lados da equação pelo coeficiente que está multiplicando :

Resposta

A derivada de dydx = 2xe^y + dfrac1y + y^y (ln y + 1) em relação a é:

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