Calcular o valor da integral e o erro cometido para 4 subintervalos (usando a regra de Simpson Repetida).
I=integral1^2 e^2 x d x
Resposta: 23,6125 e |ES| <= 1,9.10^-2.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos calcular a integral definida de no intervalo de 1 a 2 usando a Regra de Simpson Repetida com 4 subintervalos. A Regra de Simpson é uma técnica de aproximação para integrais definidas que utiliza parábolas para estimar a área sob a curva. Para isso, precisamos conhecer a função a ser integrada, os limites de integração e o número de subintervalos que vamos usar.

Passo 2

Vamos dividir o intervalo de integração h = b - an = 2 - 14 = 0,25 em 4 subintervalos iguais. Primeiro, calculamos a largura de cada subintervalo, denotada por .
Aqui, , e é o número de subintervalos.

Passo 3

Agora, identificamos os pontos de divisão do intervalo. Esses pontos são:
x0 = 1, x1 = 1 + h = 1,25, x2 = 1,5, x3 = 1,75, x4 = 2

Passo 4

Calculamos os valores da função f(x0) = e^2 times 1 = e^2 approx 7,3891 em cada um desses pontos:
f(x1) = e^2 times 1,25 = e^2,5 approx 12,1825
f(x2) = e^2 times 1,5 = e^3 approx 20,0855
f(x3) = e^2 times 1,75 = e^3,5 approx 33,1155
f(x4) = e^2 times 2 = e^4 approx 54,5982

Passo 5

Aplicamos a Regra de Simpson Repetida, que para I approx h3 [ f(x0) + 2 sumi=2,4,dots^n-2 f(xi) + 4 sumi=1,3,dots^n-1 f(xi) + f(xn) ] subintervalos é dada por:
I approx 0,253 [ 7,3891 + 2(20,0855) + 4(12,1825 + 33,1155) + 54,5982 ]
Substituindo os valores:

Passo 6

Realizamos as operações dentro dos colchetes:
7,3891 + 2 times 20,0855 = 7,3891 + 40,171 = 47,5601
4 times (12,1825 + 33,1155) = 4 times 45,298 = 181,192
47,5601 + 181,192 + 54,5982 = 283,3503

Passo 7

Multiplicamos pelo fator I approx 0,253 times 283,3503 approx 0,0833 times 283,3503 approx 23,6125 :

Passo 8

Calculamos o erro cometido pela Regra de Simpson. A fórmula para o erro é:
|ES| <= (b - a) h^4180 maxa <= x <= b |f^(4)(x)|
Para |ES| <= (2 - 1) times (0,25)^4180 times 16 e^4 approx 1 times 0,00390625180 times 16 times 54,5982 approx 0,0000217 times 873,5712 approx 0,019 , a quarta derivada é . O valor máximo de no intervalo é .
Substituindo os valores:

Resposta

O valor aproximado da integral é e o erro cometido é .

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