Faça o gráfico de dispersão dos dados acima. Verifique se os dados acima podem ser ajustados por um polinômio de segundo grau usando o método dos mínimos quadrados. Obtenha este polinômio.
Resposta: .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma tabela com valores de e , e precisamos fazer um gráfico de dispersão desses pontos. Depois, vamos verificar se dá pra ajustar esses dados com um polinômio de segundo grau usando o método dos mínimos quadrados. Para isso, vamos precisar entender como montar o gráfico e como aplicar o método dos mínimos quadrados para encontrar os coeficientes do polinômio.
Passo 2
Primeiro, vamos plotar os pontos no gráfico. Temos os pares , , e . No eixo horizontal colocamos os valores de e no vertical os de . Assim, cada par representa um ponto no gráfico.
Passo 3
Agora que já temos os pontos no gráfico, vamos ver se dá pra ajustar esses pontos com um polinômio de segundo grau, que tem a forma . O método dos mínimos quadrados ajuda a encontrar os valores de , e que melhor se ajustam aos dados, minimizando a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados e os valores previstos pelo polinômio.
Passo 4
Para aplicar o método dos mínimos quadrados, precisamos montar um sistema de equações baseado nos nossos pontos. Substituindo cada par na equação , temos:
Simplificando:
Passo 5
Sabemos que pela segunda equação. Vamos substituir nas outras equações:
=> \
=> \
=>
Passo 6
Agora, temos um sistema com duas equações e duas incógnitas:
Vamos resolver as duas primeiras equações para encontrar e .
Somando as duas equações:
Substituindo na segunda equação:
Passo 7
Agora que temos , e , podemos escrever o polinômio:
Passo 8
Contudo, o exercício pede para ajustar os dados usando o método dos mínimos quadrados, que envolve cálculos mais detalhados, considerando todas as equações simultaneamente para minimizar os erros. Após resolver o sistema completo, obtemos os coeficientes finais: