Vamos considerar a função
, cuja a primitiva não tem uma forma analítica conhecida. Calcule
e o respectivo erro cometido, usando:
b) Determinar o número de subintervalos necessários para que a Regra do Trapézio Repetida forneça uma aproximação com pelo menos 3 casas decimais exatas. Resposta:
b) Determinar o número de subintervalos necessários para que a Regra do Trapézio Repetida forneça uma aproximação com pelo menos 3 casas decimais exatas. Resposta:
Passo 1
Então, a gente tem que calcular o número de subintervalos necessários para a Regra do Trapézio Repetida dar uma aproximação da integral de
de 0 a 1 com pelo menos 3 casas decimais de precisão. Vamos usar a fórmula de erro da Regra do Trapézio para achar esse número de subintervalos, que vou chamar de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula do erro para a Regra do Trapézio Repetida. Ela é dada por:
Aqui,
é o erro máximo permitido,
e
são os limites da integral, e
é o número de subintervalos que queremos encontrar.
Passo 3
Nosso objetivo é que o erro seja menor que
para garantir pelo menos 3 casas decimais de precisão. Então, temos:
Agora, precisamos calcular a segunda derivada de
para encontrar
.
Passo 4
Calculando a segunda derivada de
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Agora, precisamos encontrar o valor máximo de
no intervalo [0,1]. Observando a expressão
, percebemos que o valor máximo ocorre em
:
Então,
.
Passo 5
Substituindo os valores na fórmula do erro:
Simplificando:
Agora, tiramos a raiz quadrada dos dois lados:
Como
precisa ser um número inteiro, arredondamos para cima:
No entanto, para garantir a precisão desejada, verificamos com
, que atende ao requisito.