Vamos considerar a função , cuja a primitiva não tem uma forma analítica conhecida. Calcule e o respectivo erro cometido, usando:
b) Determinar o número de subintervalos necessários para que a Regra do Trapézio Repetida forneça uma aproximação com pelo menos 3 casas decimais exatas. Resposta:

Passo 1

Então, a gente tem que calcular o número de subintervalos necessários para a Regra do Trapézio Repetida dar uma aproximação da integral de de 0 a 1 com pelo menos 3 casas decimais de precisão. Vamos usar a fórmula de erro da Regra do Trapézio para achar esse número de subintervalos, que vou chamar de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula do erro para a Regra do Trapézio Repetida. Ela é dada por:
Aqui, é o erro máximo permitido, e são os limites da integral, e é o número de subintervalos que queremos encontrar.

Passo 3

Nosso objetivo é que o erro seja menor que para garantir pelo menos 3 casas decimais de precisão. Então, temos:
Agora, precisamos calcular a segunda derivada de para encontrar .

Passo 4

Calculando a segunda derivada de :
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Agora, precisamos encontrar o valor máximo de no intervalo [0,1]. Observando a expressão , percebemos que o valor máximo ocorre em :
Então, .

Passo 5

Substituindo os valores na fórmula do erro:
Simplificando:
Agora, tiramos a raiz quadrada dos dois lados:
Como precisa ser um número inteiro, arredondamos para cima:
No entanto, para garantir a precisão desejada, verificamos com , que atende ao requisito.

Resposta

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Vamos considerar a função , cuja a primitiva não tem uma forma analítica conhecida. Calcule e o respectivo erro cometido, usando:
a) A Regra do Trapézio. Resposta: 0,6839397 e .
O valor de pode ser obtido através da resolução da equação sen(x)=0. Aplique o método de Newton com e precisão de .
Dada uma função por meio da tabela.
x -1 0 1 2
0 -1 0 7
Faça o gráfico de dispersão dos dados acima. Verifique se os dados acima podem ser ajustados por um polinômio de segundo grau usando o método dos mínimos quadrados. Obtenha este polinômio.
Resposta: .
Calcular o valor da integral e o erro cometido para 4 subintervalos (usando a regra de Simpson Repetida).
Resposta: 23,6125 e .