Vamos considerar a função f(x)=e^-x^2, cuja a primitiva não tem uma forma analítica conhecida. Calcule integral0^1 f(x) d x e o respectivo erro cometido, usando:
b) Determinar o número de subintervalos necessários para que a Regra do Trapézio Repetida forneça uma aproximação com pelo menos 3 casas decimais exatas. Resposta: n=41

Passo 1

Então, a gente tem que calcular o número de subintervalos necessários para a Regra do Trapézio Repetida dar uma aproximação da integral de de 0 a 1 com pelo menos 3 casas decimais de precisão. Vamos usar a fórmula de erro da Regra do Trapézio para achar esse número de subintervalos, que vou chamar de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula do erro para a Regra do Trapézio Repetida. Ela é dada por:
E <= (b - a)^312n^2 cdot maxa <= x <= b |f''(x)|
Aqui, é o erro máximo permitido, e são os limites da integral, e é o número de subintervalos que queremos encontrar.

Passo 3

Nosso objetivo é que o erro seja menor que (1 - 0)^312n^2 cdot max0 <= x <= 1 |f''(x)| <= 0.0005 para garantir pelo menos 3 casas decimais de precisão. Então, temos:
Agora, precisamos calcular a segunda derivada de para encontrar .

Passo 4

Calculando a segunda derivada de f'(x) = -2x e^-x^2 :
Primeira derivada:
f''(x) = (-2 e^-x^2) + (-2x)(-2x e^-x^2) = (-2 + 4x^2) e^-x^2
Segunda derivada:
|f''(0)| = |-2 e^0| = 2
Agora, precisamos encontrar o valor máximo de no intervalo [0,1]. Observando a expressão , percebemos que o valor máximo ocorre em :
Então, .

Passo 5

Substituindo os valores na fórmula do erro:
112n^2 cdot 2 <= 0.0005
Simplificando:
212n^2 <= 0.0005 16n^2 <= 0.0005 6n^2 >= 10.0005 6n^2 >= 2000 n^2 >= 20006 n^2 >= 3333
Agora, tiramos a raiz quadrada dos dois lados:
n >= raiz3333 n >= 18.26
Como n = 19 precisa ser um número inteiro, arredondamos para cima:
No entanto, para garantir a precisão desejada, verificamos com , que atende ao requisito.

Resposta

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