Calcule os autovalores de C=(lll3 & 5 & 9 0 & 4 & 1 0 & 1 & 2)

Passo 1

Beleza, vamos calcular os autovalores da matriz 3 & 5 & 9 0 & 4 & 1 0 & 1 & 2 . Esse assunto está na álgebra linear, mais especificamente trabalhando com autovalores e autovetores. Para resolver, vamos precisar encontrar os valores de que satisfazem a equação característica da matriz.

Passo 2

Primeiro, precisamos montar a matriz característica, que é I = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 , onde C - lambda I = 3 - lambda & 5 & 9 0 & 4 - lambda & 1 0 & 1 & 2 - lambda é a matriz identidade do mesmo tamanho que . A matriz identidade para uma matriz 3x3 é:
Então, subtraindo de :

Passo 3

Agora, precisamos calcular o determinante dessa matriz característica. O determinante de uma matriz 3x3 a & b & c d & e & f g & h & i é dado por:
det = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Aplicando isso à nossa matriz det(C - lambda I) = (3 - lambda)[(4 - lambda)(2 - lambda) - (1)(1)] - 5[0(2 - lambda) - (1)(0)] + 9[0(1) - (4 - lambda)(0)] :

Passo 4

Simplificando os termos:
det(C - lambda I) = (3 - lambda)[(4 - lambda)(2 - lambda) - 1] - 5[0 - 0] + 9[0 - 0]
Como os últimos dois termos são zero, fica apenas:
det(C - lambda I) = (3 - lambda)[(4 - lambda)(2 - lambda) - 1]
Vamos expandir (4 - lambda)(2 - lambda) = 8 - 4lambda - 2lambda + lambda^2 = lambda^2 - 6lambda + 8 :
det(C - lambda I) = (3 - lambda)(lambda^2 - 6lambda + 8 - 1) = (3 - lambda)(lambda^2 - 6lambda + 7)
Então:

Passo 5

Agora, colocamos a equação característica igual a zero para encontrar os autovalores:
(3 - lambda)(lambda^2 - 6lambda + 7) = 0
Isso nos dá duas partes para resolver:

Passo 6

Para a segunda equação quadrática lambda = 6 pm raiz(-6)^2 - 4 cdot 1 cdot 72 cdot 1 = 6 pm raiz36 - 282 = 6 pm raiz82 = 6 pm 2raiz22 = 3 pm raiz2 , usamos a fórmula de Bhaskara:

Resposta

Os autovalores da matriz lambda1 = 3, lambda2 = 3 + raiz2, lambda3 = 3 - raiz2 são:

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