Determine os autovalores de e de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar os autovalores das matrizes e . Isso está relacionado à matéria de Álgebra Linear, especificamente ao conceito de autovalores e autovetores. Para resolver isso, vamos precisar calcular o polinômio característico de cada matriz e encontrar as raízes desse polinômio, que serão os autovalores.

Passo 2

Vamos começar com a matriz :
Para encontrar os autovalores de , precisamos resolver a equação característica:
onde é a matriz identidade e representa os autovalores.

Passo 3

Primeiro, montamos a matriz :
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:

Passo 4

Vamos expandir o determinante:
Então, somando os 10:

Passo 5

Agora, resolvemos a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, os autovalores de são e .

Passo 6

Agora, vamos para a matriz :
Uma dica aqui é que é uma matriz triangular superior, o que facilita encontrar os autovalores, pois eles são simplesmente os elementos da diagonal principal.

Passo 7

Os autovalores de uma matriz triangular (superior ou inferior) são os elementos que estão na diagonal principal. Então, para :
  • Primeiro autovalor:
  • Segundo autovalor:
  • Terceiro autovalor:

Resposta

Os autovalores de são e .
Os autovalores de são , e .

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