Determine os autovalores de A=(cc3 & -1 10 & 5) e de B=(ccc1 & 7 & -1 0 & -1 & 8 0 & 0 & -4).

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar os autovalores das matrizes e . Isso está relacionado à matéria de Álgebra Linear, especificamente ao conceito de autovalores e autovetores. Para resolver isso, vamos precisar calcular o polinômio característico de cada matriz e encontrar as raízes desse polinômio, que serão os autovalores.

Passo 2

Vamos começar com a matriz A = 3 & -1 10 & 5 :
det(A - lambda I) = 0
Para encontrar os autovalores de , precisamos resolver a equação característica:
onde é a matriz identidade e representa os autovalores.

Passo 3

Primeiro, montamos a matriz A - lambda I = 3 - lambda & -1 10 & 5 - lambda :
det(A - lambda I) = (3 - lambda)(5 - lambda) - (-1)(10)
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
= (3 - lambda)(5 - lambda) + 10

Passo 4

Vamos expandir o determinante:
(3 - lambda)(5 - lambda) = 15 - 3lambda - 5lambda + lambda^2
= lambda^2 - 8lambda + 15
Então, somando os 10:
det(A - lambda I) = lambda^2 - 8lambda + 15 + 10
= lambda^2 - 8lambda + 25

Passo 5

Agora, resolvemos a equação quadrática:
lambda^2 - 8lambda + 25 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara:
lambda = 8 pm raiz64 - 1002
= 8 pm raiz-362
= 8 pm 6i2
= 4 pm 3i
Então, os autovalores de são e .

Passo 6

Agora, vamos para a matriz B = 1 & 7 & -1 0 & -1 & 8 0 & 0 & -4 :
Uma dica aqui é que é uma matriz triangular superior, o que facilita encontrar os autovalores, pois eles são simplesmente os elementos da diagonal principal.

Passo 7

Os autovalores de uma matriz triangular (superior ou inferior) são os elementos que estão na diagonal principal. Então, para :
  • Primeiro autovalor:
  • Segundo autovalor:
  • Terceiro autovalor:

Resposta

Os autovalores de são e .
Os autovalores de são , e .

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