Responda verdadeiro ou falso (e justifique): Não é possível resolver um sistema linear A x=b via Fatoração de Cholesky, se A for uma matriz não simétrica, ainda que tenha posto completo.

Passo 1

Vamos analisar a afirmação: “Não é possível resolver um sistema linear via Fatoração de Cholesky, se for uma matriz não simétrica, ainda que tenha posto completo.” Neste exercício, estamos trabalhando com sistemas de equações lineares e utilizando a Fatoração de Cholesky como método para resolvê-los. Precisamos verificar se essa fatoração é aplicável quando a matriz não é simétrica, mesmo que tenha posto completo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a Fatoração de Cholesky. É um método de decomposição de matrizes que decompõe uma matriz simétrica e definida positiva A = L L^T em um produto de uma matriz triangular inferior e sua transposta, ou seja:
Essa fatoração simplifica a resolução de sistemas lineares, pois transforma o sistema original em duas etapas mais simples.

Passo 3

É importante destacar que a Fatoração de Cholesky só pode ser aplicada a matrizes que são simétricas e definidas positivas. A simetria da matriz é uma condição essencial para que a fatoração seja possível. Sem a simetria, a estrutura necessária para decompor em não existe.

Passo 4

Mesmo que a matriz tenha posto completo, se ela não for simétrica, a Fatoração de Cholesky não pode ser utilizada. A condição de simetria é fundamental e não pode ser substituída apenas pela completude do posto da matriz.

Resposta

Verdadeiro.

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