Responda verdadeiro ou falso (e justifique): Não é possível resolver um sistema linear
via Fatoração de Cholesky, se
for uma matriz não simétrica, ainda que tenha posto completo.
Passo 1
Vamos analisar a afirmação: “Não é possível resolver um sistema linear
via Fatoração de Cholesky, se
for uma matriz não simétrica, ainda que tenha posto completo.” Neste exercício, estamos trabalhando com sistemas de equações lineares e utilizando a Fatoração de Cholesky como método para resolvê-los. Precisamos verificar se essa fatoração é aplicável quando a matriz
não é simétrica, mesmo que tenha posto completo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a Fatoração de Cholesky. É um método de decomposição de matrizes que decompõe uma matriz simétrica e definida positiva
em um produto de uma matriz triangular inferior
e sua transposta, ou seja:
Essa fatoração simplifica a resolução de sistemas lineares, pois transforma o sistema original em duas etapas mais simples.
Passo 3
É importante destacar que a Fatoração de Cholesky só pode ser aplicada a matrizes que são simétricas e definidas positivas. A simetria da matriz
é uma condição essencial para que a fatoração seja possível. Sem a simetria, a estrutura necessária para decompor
em
não existe.
Passo 4
Mesmo que a matriz
tenha posto completo, se ela não for simétrica, a Fatoração de Cholesky não pode ser utilizada. A condição de simetria é fundamental e não pode ser substituída apenas pela completude do posto da matriz.
Resposta
Verdadeiro.