Calcule, caso exista (e se não existir, justifique) o limite da sequência de termo geral: an=ln (n+1)-ln (n)

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite da sequência cujo termo geral é . Estamos lidando com Logaritmos e Limites de Sequências. Para resolver, vamos usar propriedades dos logaritmos e conceitos de limites quando tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo an = ln(n+1) - ln(n) = ln(n+1n) . Sabemos que a diferença de logaritmos pode ser escrita como o logaritmo da razão dos argumentos:

Passo 3

Agora, vamos simplificar a fração dentro do logaritmo:
n+1n = 1 + 1n
Então, temos:
an = ln(1 + 1n)

Passo 4

Para encontrar o limite de limn to infty ln(1 + 1n) = ln(1 + 0) = ln(1) quando tende ao infinito, observamos que tende a 0. Portanto:

Passo 5

Sabemos que limn to infty an = 0 . Assim:

Resposta

O limite da sequência é 0.

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