Verdadeiro ou falso? Apresente justificativas para as afirmações falsas. Se
é decrescente e
para todo
, então
é convergente.
Passo 1
Então, a questão é: “Verdadeiro ou falso? Se
é decrescente e
para todo
, então
é convergente.” Vamos precisar entender sobre sequências decrescentes e o que significa uma sequência ser convergente.
Passo 2
Primeiro, uma sequência decrescente é aquela onde cada termo é menor ou igual ao anterior, ou seja,
para todo
. Além disso, toda essa sequência está acima de zero, já que
.
Passo 3
Agora, para saber se essa sequência é convergente, usamos o Teorema da Convergência Monótona. Esse teorema diz que toda sequência monótona (crescente ou decrescente) que está limitada (no nosso caso, limitada abaixo por zero) é convergente.
Passo 4
Como a nossa sequência
é decrescente e está limitada abaixo por zero, segundo o teorema, ela deve ser convergente. Ou seja, ela vai se aproximar de um certo valor à medida que
aumenta.
Resposta
Verdadeiro. A sequência
é convergente porque é decrescente e está limitada abaixo por zero.
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Calcule, caso exista (e se não existir, justifique) o limite da sequência de termo geral:
Verdadeiro ou falso? Apresente justificativas para as afirmações falsas. Se
e
são ambas sequências divergentes, então
é divergente.
Verdadeiro ou falso? Apresente justificativas para as afirmações falsas. Se
, então
.